《数字信号处理》(1-7章)习题解答

第一章习题解答

1、对三个正弦信号xa1(t) cos2 t，xa2(t) cos6 t，xa3(t) cos10 t进行理想采样，采样频率为 s 8 。求三个采样输出序列，比较这三个结果。画出xa1(t)，xa2(t)，xa3(t)的波形及采样点位置，并解释频谱混淆现象。

解：采样频率 s 8 ，那么采样周期T

2

，对连续信号xa(t)理想采样可表示为 s

a(t) x

这样就有

n

x(nT) (t nT)

a

a1(t) x

n

xa1(nT) (t nT)

n

cos (t n4)

2 n

3 n n

a2(t) xa2(nT) (t nT) cos x (t 4) cos (t n4)

22 n n n

5 n n

a3(t) xa3(nT) (t nT) cos x (t 4) cos (t n4)

2 2 n n n

因此采样后输出序列分别为cos

n n n

、和 coscos 。 222

xa1(t)，xa2(t)，xa3(t)的波形及采样点位置如题1解图所示。

题1解图

由表达式及题1解图中可以看出

a1(t) x a2(t) x a3(t) x

a3(t)恢复。由题意

a2(t)和x那么以采样频率 s 8 对xa2(t)和xa3(t)采样后，已不能由x

可知，xa2(t)和xa3(t)的最高频率分别为

m2 6 m3

s

4 2

10 s 4

2

a3(t)已不包含xa2(t)、xa3(t)的 a2(t)、x根据采样定理，采样的结果必然导致频谱混叠，x

全部信息，因此无法恢复xa2(t)、xa3(t)。

2、以下序列是系统的单位脉冲响应h(n)，试指出系统的因果性及稳定性。 (1) 0.3u(n) (2) (5) sin(n),n 0

n

11

un u n (4) n 4 (3) n2n!

(6) (n 1) (n) 3 (n 1)

(7) u(5 n) (8) 2nRN(n)

解：(1) 当n 0时，h(n) 0，所以系统是因果的；因为所以系统是稳定的。

(2) 当n 0时，h(n) 0，所以系统是因果的；因为系统是不稳定的。

(3) 当n 0时，h(n) 0，所以系统是因果的；因为

n

|h(n)| 0.3n

n 0

10

，7

n

|h(n)|

1

，所以2nn 0

n

|h(n)|

111

1 1 n!2 13 2 1n 0

111

1 1 3

248

所以系统是稳定的。

(4) 当n 4 0时，h(n)1，所以系统是非因果的；因为

n

h(n)

n

(n 4) 1，所以系统是稳定的。

(5) 当n 0时，h(n) 0，所以系统是因果的；因为以系统是不稳定的。

n

h(n) sin(n) ，所

n 0

(6) 当n 1 0时，h(n) 1，所以系统是非因果的；因为是稳定的。

(7) 当n 5时，h(n) 1，所以系统是非因果的；因为系统是不稳定的。

(8) 当n 0时，h(n) 0，所以系统是因果的；因为

n

|h(n)| 5，所以系统

5

n

|h(n)| 1 ，所以

n N 1n 0

n

n

|h(n)| 2

2N 1，只

要N有限，系统就是稳定的。

3、 判断下列信号是否为周期的，并对周期信号求其基本周期。 (1) x(n) cos(0.125 n) (2) x(n) Re{e

jn 12

} Im{e

j

n 18

}

j 3

n ) (4) x(n) e 6 (3) x(n) Acos(78

n

解：(1) 由于2 / 0 2 /0.125 16是有理数，所以x(n)是周期的，且周期为16。 (2) 对于Re{e

jn 12

}，2 24，那么它的周期为24；对于Re{e

j

n 18

}，2 36，

则它的周期为36，x(n)的周期为这两个信号周期的最小公倍数，所以周期为72。

(3) 由于2 / 0 2 / 是有理数，所以x(n)是周期的，周期为14。

73

(4) 利用欧拉公式

j(6 )

x(n) e

cos( ) jsin( )

66 cos jsin由于2 / 0 12 是无理数，所以x(n)是非周期的。

4、 判断下列系统是否为线性、时不变、因果、稳定系统，说明理由。其中，x(n)与y(n)分别为系统的输入与输出。

(1) y(n) nx(n) (2) y(n) x(n)sin(

3

n ) 74

(3) y(n)

m

x(m) (4)

n

y(n) x(n 1) x(n 1)

解：(1) 首先判断系统是否是线性系统，假设在x1(n)和x2(n)单独输入时的输出分别为y1(n)和y2(n)，即：

y1(n) T[x1(n)] nx1(n) y2(n) T[x2(n)] nx2(n)

那么当输入为x(n) ax1(n) bx2(n)时，系统的输出为

y(n) T[x(n)] T[ax1(n) bx2(n)]

anx1(n) bnx2(n) ay1(n) by2(n)

所以系统是线性系统。

下面判断系统是否为时不变系统，假设系统的输入为x(n)，系统的输出

y(n) T[x(n)] nx(n)

当系统的输入为x1(n) x(n m)时，系统的输出

y1(n) T[x1(n)] nx1(n) nx(n m) (n m)x(n m)

因为y(n m) (n m)x(n m)，显然y1(n) T[x1(n)] T[x(n m)] y(n m)，所以系统是时变系统。

接下来判断系统是否为因果系统，y(n)与x(n)有关，由因果系统的定义可知，该系统为因果系统。

最后，判断系统是否为稳定系统，假设输入x(n) 1有界，即

x(n) 1

此时输出满足

y(n) nx(n) n

因此系统为非稳定系统。

(2) 假设在x1(n)和x2(n)单独输入时的输出分别为y1(n)和y2(n)，即：

3 n ) 743

y2(n) T[x2(n)] x2(n)sin(n )

74y1(n) T[x1(n)] x1(n)sin(

那么当输入为x(n) ax1(n) bx2(n)时，系统的输出为

y(n) T[x(n)] T[ax1(n) bx2(n)]

3 3 n ) bx2(n)sin(n ) 7474

ay1(n) by2(n) ax1(n)sin(

所以系统是线性系统。

当系统的输入为x1(n) x(n m)时，系统的输出

y1(n) T[x1(n)] x1(n)sin(

因

为

3 3 n ) x(n m)sin(n ) 7474

(，

(显

然

y(n m )xn m(

3 n smi 74

)当m) 1

时，

y1(n) T[x1(n)] T[x(n 1)] y(n 1)，所以系 …… 此处隐藏：6429字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……