第8章 曲线和曲面提出问题由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通过测量或 实验得到一系列有序点列，根据这些点列需构造出 一条光滑曲线，以直观地反映出实验特性、变化规 律和趋势等。2013-8-2 1

第8章 曲线和曲面工业产品的几何形状： 初等解析曲面

复杂方式自由变化的曲线曲面模线样板法

计 算 机 辅 助 几 何 设 计 CAGD(Computer AidedGeometric Design)2013-8-2 2

8.1 曲线曲面基础8.1.1 曲线曲面数学描述的发展 弗格森双三次曲面片 孔斯双三次曲面片 样条方法 Bezier方法 B样条方法 有理Bezier 非均匀有理B样条方法3

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8.1.2 曲线曲面的表示要求1.唯一性2.几何不变性

3.易于定界4.统一性 5.易于实现光滑连接 6.几何直观2013-8-2 4

8.1.3 曲线曲面的表示

p p(t )参数表示方法的优点：

t [0,1]

1.点动成线2.选取具有几何不变性的参数曲线曲面表示形式。 3.斜率

dy m dy / dt n dy / dt dx m dx / dt n dx / dt2013-8-2 5

4.t∈[0,1] ,使其相应的几何分量是有界的 5.可对参数方程直接进行仿射和投影变换 6.参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出 来

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8.1.4 插值和逼近样条 采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面的形状称为样条。

样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续条件。 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述。2013-8-2 7

曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲面的 形状时，形状完全通过给定的型值点列。

图8-12013-8-2

曲线的拟合8

曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面 的形状时，求出的形状不必通过控制点列

图8-22013-8-2

曲线的逼近9

求给定型值点之间曲线上的点称为曲线的插值。 将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制 多边形或特征多边形

图8-22013-8-2

曲线的逼近10

8.1.5 连续性条件假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：

pi pi (t ) 参数连续性

t [ti0 , t i1]

几何连续性

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1.参数连续性

0阶参数连续性，记作C0 连续性，是指曲线的几何位置连接，即

pi (ti1 ) p(i 1) (t(i 1)0 )2013-8-2 12

1阶参数连续性记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相

交点处有相同的一阶导数：

pi (ti1 ) p(i 1) (t(i 1) 0 ) 且pi (ti1 ) p( i 1) (t(i 1) 0 )2013-8-2 13

2阶参数连续性，

记作C2 连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。

(a)0阶连续性

(b)1阶连续性

(c)2阶连续性

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2.几何连续性0阶几何连续性，记作G0连续性，

与0阶参数连续性的定

义相同，满足：

pi (ti1 ) p(i 1) (t(i 1)0 )1阶几何连续性，记作G1 连续性，指一阶导数在相邻段 的交点处成比例

2阶几何连续性，记作G2 连续性，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。2013-8-2 15

8.1.6 样条描述n次样条参数多项式曲线的矩阵：

x(t ) ant a2t a1t a0 n 2 1 y (t ) bnt b2t b1t b0 z (t ) c t n c t 2 c t 1 c n 2 1 0 n 2 1

t [0,1]

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an x(t ) y (t ) t n t 1 p (t ) a1 z (t ) a0 T C T M S G t [0,1]

bn cn b1 c1 b0 c0

基矩阵 几何约束条件 基函数(blenging function),或称混合函数。2013-8-2 17

8.2 三次样条给定n+1个点，可得到通过每个点的分段三次多项式曲线：

x(t ) a x t 3 bx t 2 c x t d x 3 2 y (t ) a y t by t c y t d y z (t ) a t 3 b t 2 c t d z z z z

t [0,1]

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8.2.1 自然三次样条定义：给定n+1个型值点，现通过这些点列构造一条 自然三次参数样条曲线，要求在所有曲线段的公共

连接处均具有位置、一阶和二阶导数的连续性，即自然三次样条具有C2连续性。

还需要两个附加条件才能解出方程组

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特点： 1.只适用于型值点分布比较均匀的场合 2.不能“局部控制”

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8.2.2 三次Hermite样条

定义：假定型值点Pk 和Pk+1 之间的曲线段为p(t),t∈[0,1],给定矢量Pk、Pk+1、Rk 和Rk+1,则满足下列条件的三

次参数曲线为三次Hermite样条曲线：

p(0) Pk , p(1) Pk 1 p (0) Rk , p (1) Rk 12013-8-2 21