【金版学案】2015-2016学年高中数学 1.2.1绝对值三角不等式练习

1．2 绝对值不等式

1．2.1 绝对值三角不等式

1．理解绝对值的几何意义．

2．能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；

(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.

1．研究在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式．主要的依据是绝对值的意义．

在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值．

x，x＞0， 即|x|＝ 0，x＝0，

－x，x＜0.

思考1 求下列各数的绝对值：

(1)3；

(2)－8；

(3)0.

答案: (1)3 (2)8 (3)0

2．绝对值三角不等式

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 关于定理1的几点说明：

222222(1)定理1的证明：|a＋b|≤|a|＋|b| (a＋b)≤(|a|＋|b|) a＋b＋2ab≤a＋b＋

2|a||b| ab≤|a||b| ab≤|ab|，由已知知识可知ab≤|ab|一定成立，因而不等式|a＋b|≤|a|＋|b|成立．又由于上面每一步都是恒等变形及ab＝|ab| ab≥0可知，当且仅当ab≥0时，等号成立．

(2)对定理的几何说明，实际上是利用了绝对值的几何意义，证明了不等式|a＋b|≤|a|＋|b|.

(3)定理1还可以变形为|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的充要条件是ab≤0.

(4)由定理1还可以得出许多正确的结论，例如：如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|；|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.

思考2 说出下列不等式等号成立的条件：

(1)|a|＋|b|≥|a＋b|；

(2)|a|－|b|≤|a＋b|；

(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.

答案: (1)等号成立的条件是：ab≥0；

(2)等号成立的条件是：ab≤0且a≥b.

(3)等号成立的条件是：(a－b)(b－c)≥0

3．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a|≥a，|a|≥－a及绝对值的和的性质． 思考3 当|a|>a时，a∈________；当|a|>－a时，a∈(0，＋∞)．

答案: (－∞，0)

一层练习

1．若|x－a|<m，|y－a|<n，则下列不等式一定成立的是( )

A．|x－y|<2m B．|x－y|<2n

C．|x－y|<n－m D．|x－y|<n＋m

答案: D

2．设ab>0，下面四个不等式：

①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；

③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.

其中正确的是( )

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

答案: C

3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________． 答案: 5 0

4．方程|x|＋|logax|＝|x＋logax|(a>1)的解集是________________．

答案: {x|x≥1}

二层练习