高等数学 习题课1-2 极限与连续

高等数学 习题课1-2 极限与连续

第一章 习题课二

范围：1.6~1.9内容要点

举例练习

高等数学 习题课1-2 极限与连续

一 内容要点1 极限 (1)单调有界准则 (2)夹逼准则 (3)两个重要极限 (4)等价无穷小替换 2 连续 (1)连续的概念 (2)间断点的判别、分类

(3)闭区间上连续函数的性质 (最值定理, 介值定理, 零点定理)

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二 例题例1 求 lim(n

1 n n6

226

解 n

1 n6 n 2

n 2n n n 1 1 n6 kn n6 n6n

n22

)

k 1

k2 n6 n 2 limn

k 1

k2 n6 kn

k 1

n

k2 n6 nn

lim n k 1

n

k6

2 2

n( n 1)(2n 1) 6 n n6 2

n n

1 lim 3

k 1

n

k2 n6 n

由夹逼准则, 原式

1 3

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1

例2 设xn (1 2n 3n ) n , 求 lim xnn

解

1 1 ( ) ( )n 3 3 3 1 1 1 n 2 n n 3 3 1 3 3 n 3 3 n

1

2

1

lim 3 3 n 3,n

由夹逼准则, 原式 3

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例3 设x0 0, xn 1

2(1 xn ) 2 xn

, n 0,1, 2, ,

试证{ xn }收敛，并求 lim xn n 证x0 0, xn 1 1 2

xn

2 xn 2( xn xn 1 ) 2 2 xn 1 xn (2 ) (2 ) 2 xn 2 xn 1 (2 xn )(2 xn 1 )

又 xn 1 2

2 xn 2, ( n 0,1, ) { xn }有界。

1, ( n 0,1, )

xn 1 xn与xn xn 1同号

故当x1 x0时,{ xn }单调增;

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{ xn }单调有界, 必收敛。

当x1 x0时,{ xn }单调减，也必然收敛。设 lim xn An

xn 1

2(1 xn ) 2 xn

,

A

2 2A 2 A

, 解得A 2

lim xn 2 。n

注 若从递推公式得到 xn+1 - xn=A (xn - xn-1),则当 A> 0时,必有{ xn}单调(只要xn+1 - xn与 xn - xn-1 同号); 当A<0时,(或xn+1 - xn与 xn - xn-1 异号)时,往往{x2n}、 {x2n-1}分别单调(一增、一减)。

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例 4 求极限 2x 3 (1) lim x 2 x 1 x 1

(2) lim x 1 2 xx 02 ( x 1) 2 x 1

解

2 x 1 2 2 1 (1)原式 lim x 2x 1

e

1

(2)原式 lim(1 2 x ) xx 0

lim 1 ( 2 x ) x 0

1 ( 2) 2 x

e

2

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例 5 求极限(1) limx 0

1 x sin x 1 e 1 ln(sin 2 x e x ) xx2

1

(2) lim x(e x 1)x

(3) limx 0

解

ln( x 2 e 2 x ) 2 x 1 x sin x 1 2 (1)原式 lim 2 x 0 x 2 1 (2)原式 lim x 1 x xln(1 e x sin2 x ) ln(1 e 2 x x 0 2

(3) 原式 lim

x )

limx 0

e x sin 2 x e 2 x

x

2

1

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例6 问x 1时, f ( x ) 3 x 2 x 1 ln x2

是x 1的几阶无穷小 ?

解 f ( x ) 3 x 1 x 1 ln[1 ( x 1)] limx 1

f ( x) ( x 1)3 2

2

当x

1时, f ( x )是x 1的 阶无穷小。 2

3

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例7 若 lim (3 x ax bx 1) 2, 求a , b 。2 x

b 1 3 a 2 x x 解 原式 lim 2 x 1 x 代入原式得

a 9

原式 lim (3 x 9 x 2 bx 1) x bx 1 lim x 3 x 9 x 2 bx 1 1 b b x lim 2 b 12 x 6 b 1 3 9 2 x x

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例8 讨论f ( x ) limn

xn 1 xn

( x 0)的连续性。

解 当x [0,1)时, f ( x ) 0;

0, 0 x 1 1 1 即 f ( x) , x 1 当x 1时, f ( x ) ; 2 2 1, x 1 1 当x 1时, f ( x ) lim 1 n 1 n ( ) 1 x

由初等函数连续性知: f(x)在[0,1)及(1, ) 内连续, x=1是f(x)的跳跃间断点。

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x3 x , x 0 sin x 例9 求f ( x ) 的间断点, 并指出 ln(1 x ) sin 1 , x 0 其类型. 2 x 1 3 x x 解. 当x 0时, f ( x ) ,由sin x 0得x 1, 2, 3, sin x 1 当x 0时, f ( x ) ln(1 x ) sin 2 ,由x 2 1 0得x 1 x 1 3

又 lim f ( x ) lim x 0 x 0

x x

sin x

1

, lim f ( x ) sin( 1) x 0

x 0,1, 1, 2, 为f ( x )的间断点。

x 1 为振荡间断点 2 ( y 1)3 ( y 1) x= -1 令x y 1, lim f ( x ) lim x 1 y 0 sin y x 1为可去间断点， -2 ,-3,…….为无穷间断点。 x=

其中 x=0为跳跃间断点,

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例 10 证明: 方程 tanx = x 有无穷多个实根。分析 从图形看 y=tanx与 y = x 有无穷多个交点。 证 设 f(x) = tan x- x (要在无穷个闭区间上用零点定理) k Z ,(1) k

limx ( k

2

f ( x ) , lim) x ( k

2

f ( x ) )

x 、x , k (2) k

2

x

(1) k

x

(2) k

k

2

, 使得

(1) f ( xk ) 0

(2) f ( xk ) 0(1) (2) xk ( xk , xk ), 使f ( xk ) 0

f ( x ) C[ x(1) , x( 2 ) ]k k

对 k Z得 f ( x ) 0 即 tan x x 有无穷多个实根。

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例11 设f ( x ) C[ a ,b ] , 且a c d b, 证明 : (a , b)使 lf (c ) nf (d ) ( l n) f ( ), l、n N。

证. f ( x ) C[ c ,d ] , M max f ( x ), m min f ( x )x [ c ,d ] x [ c ,d ]

m

lf (c ) nf (d ) l n

M

[c, d ] (a , …… 此处隐藏：1649字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……