高中数学选修4-4 1.2极坐标系

从这向北 2000米。

请问：去?? 中学怎么走？

请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？ 从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 ！

出发点

方向

距离

在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。

一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O,叫做极点。 引一条射线OX,叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向(通常取逆时针 O 方向)。

X

这样就建立了一个极坐标系。

二、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点 M,用 表示线段OM的 长度，用 表示从OX到 OM 的角度， 叫做点M 的极径， 叫做点M的极 角，有序数对( , )就 O 叫做M的极坐标。

M

X

特别强调： 表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离； 表示从OX到OM的角度，即 以OX(极轴)为始边，OM 为终边的角。

题组一：说出下图中各点的极坐标 25 6C E D O B A X

4

4 3

F

G

5 3

特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标 =0, 可以取任意值。想一想？

①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？

④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？

三、点的极坐标的表达式的研究M 如图：OM的长度为4, 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。π 2kπ+ 4 本题点M的极坐标统一表达式：4,

题组二：在极坐标系里描出下列各点A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3 B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6 C (3, ) 2 F (4, )

25 6

4

E F O

C A B X

4 3

D

G

5 3

四、极坐标系下点与它的极坐标的 P 对应情况[1]给定( , ),就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。M O (ρ,θ)… X

[2]给定平面上一点M,但 却有无数个极坐标与之对 应。 原因在于：极角有无数个。

如果限定ρ>0,0≤θ<2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.

小结[1]建立一个极坐标系需要哪些要素

极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？

有。(ρ,2kπ+θ)

极坐标和直角坐标的互化

平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )

这个点如何用极坐标表示?

在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取

相 同的长度单位

y

M (1, 3)

θOx

点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)

M ( 2, ∏ / 3)

1 3 2 ( )2 2

3 tan 3 1