第二章§2 矩阵的运算

一、矩阵的加法定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij),B = (bij) ,那么矩阵 A 与 B 的和记作 A+B,规定为 a11 b11 a21 b21 A B am 1 bm 1 a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2 a1n b1n a2 n b2 n amn bmn

说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.

矩阵加法的运算规律：A B B A 交换律 ( A B) C A ( B C )

结合律

二、数与矩阵相乘定义：数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ,规定为 l a11 l a21 l A Al l am 1

la 12 l a22

l am 1

la n 1 la n 2 l amn

数乘矩阵的运算规律：(l ) A l( A )

结合律 分配律

(l ) A l A A

l ( A B) l A l B

三、矩阵与矩阵相乘设变量t1 , t2到变量x1 , x2 , x3的线性变换为

I

x1 = b11t1 + b12 t 2 x2 = b21t1 + b22 t 2 x = b t + b t 31 1 32 2 3

变量x1 , x2 , x3到变量y1 , y2的线性变换为： y1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 y2 a21 x1 a22 x2 a23 x3

那么变量t1 , t2到变量y1 , y2的线性变换为： y1 a11 (b11t1 b12 t 2 ) a12 (b21t1 b22 t 2 ) a13 (b31t1 b32t 2 ) (Ш) y2 a21 (b11t1 b12 t 2 ) a22 (b21t1 b22 t 2 ) a23 (b31t1 b32t 2 )

y1 (a11b11 a12b21 a13b31 )t1 (a11b12 a12b22 a13b32 )t 2 即 y2 (a21b11 a22b21 a23b31 )t1 (a21b12 a22b22 a23b32 )t 2

a11 令 A= a21

a12 a22

b11 a13 B = b21 a23 b 31

b12 b22 b32

a11b11 a12b21 a13b31 a11b12 a12b22 a13b32 C a21b11 a22b21 a23b31 a21b12 a22b22 a23b32 矩阵C是由矩阵A与B按照某种运算得到的， 这就是下面要给出的矩阵乘法。

b11 b12 a11 a12 a13 b21 b22 a21 a22 a23 b b 31 32 a11b11 a12b21 a13b31 a11b12 a12b22 a13b32 a21b11 a22b21 a23b31 a21b12 a22b22 a23b32 由此可以这样定义矩阵的乘法：

矩阵乘法的法则：乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素等于前矩阵A的第i行的各元素与后矩阵B的第j列中

顺次对应的各个元素的乘积之和。 a11 am1 a1s b11 b12 b1n 第 第i 行 j 列 am 2 ams bs1 bs 2 bsn a12

cij

矩阵与矩阵相乘定义：设 A (aij )m s , (bij )s n ,那么规定矩阵 A 与矩阵 B B 的乘积是一个 m×n 矩阵

C (,其中 cij )s k 1

cij ai 1b1 j ai 2b2 j ais bsj

aik bkj(i 1, 2, m; j 1, 2, , n)并把此乘积记作 C = AB.

注意：1.一个1×s行距阵和一个s×1列距阵的乘积是1阶方阵，也 就是一个数.

3 1 2 3 2 10 1

3 3 6 9 2 1 2 3 2 4 6 1 1 2 3

2.只有当一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵 (右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.

例 1 求矩阵

1 0 3 -1 A= 2 1 0 2

的乘积AB.

4 -1 B= 2 11 1 0 3 0 3 1 4

1 1 0 3

0 3 1 4

4 1 0 3 -1 -1 C = AB = 2 1 0 2 2 1

1 4+0 -1 +3 2+ -1 1 1 1 0 1 3 0 -1 3 1 0 0 3 3 1 -1 4 = 2 4 1 -1 0 2 2 1 2 1 1 1 0 0 2 3 2 0 1 3 0 1 2 4

9 2 1 9 9 11

例 2

求矩阵

2 4 A 1 2

2 4 B 3 6

的乘积AB与BA. 2 4 2 4 16 32 AB= 1 2 3 6 8 16 2 4 2 4 0 0 BA= 3 6 1 2 0 0 结论： 1.矩阵乘法不一定满足交换律. 2.矩阵 A ≠ O, B ≠ O ,却有AB = O ,从而不能由 AB = O 得出A = O或 B = O的结论. 若 A ≠ O而A X - Y = O,也不能得出 X = Y的结论.

矩阵乘法的运算规律(1) 乘法结合律( AB)C A( BC )

(2) 数乘和乘法的结合律 l AB (l A)B A l B (其中 l 是数) (3) 乘法对加法的分配律A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA

(4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1,即

Em Am n Am n En A

纯量阵不同 于对角阵

推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lE 与任何 同阶方阵都是可交换的.

(5) 矩阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义

Ak AA A kk l k l k l kl 显然 A A A , (A ) A

思考：下列等式在什么时候成立？

( AB )k Ak B k ( A B )2 A2 2 AB B 2 ( A B )( A B ) A2 B 2A、B可交换时成立

例1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵 a11 a12 a13 a14 A= a21 a22 a23 a24 a a32 a33 a34 31 其中aij 为工厂向第i店发送第j种产品的数量. b11 b12 b21 b22 这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵B= b31 b32 b41 b42 其中bi 1为第i种产品的单价，bi 2为第i种产品单件的重量. A与B的乘积矩阵C= AB= cij 产品的总重量.

3 2

为工厂向三家商店所发产品的总

值及总重量.c i 1为向第i店发送产品的总值，c i 2为向第i店发送

例2 四个城市间的单向航线如图所示，若令 1, 从i市到j市有1条单向航线， aij = 0,从i市到j市没有单向航线， 则图可用矩阵表示为

1 21 1 0 1 1 1 0 0 0 2 1 1

4

3

A= aij

记A2 cij , 则cij 为从i市经一次中转到j市的单向航线条数. 例如 b 23 1, 显示从②市经过一次中转到③市的单向航线有1条 b 42 2, 显示从④市经过一次中转到②市的单向航线有4条 (④ ① ②,④ ③ ②) (② ① ③,我们可以从图中看出来是这样的)

0 1 = 0 1

1 1 1 2 0 0 0 2 0 , A 1 1 0 0 0 1 0 0

例(续)

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物

数量可用数表表示为：

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a14 a24 a34

其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量.

这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：

b11 b21 b31 b41

b12 b22 b32 b42

其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量.

试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量.

解： a11 a21

a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a14 a24 a34

b11 b21 b31 b41

b12 b22 b32 b42

其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量.

其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量.

以 ci1, ci2 分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及

总重量，其中 i = 1, 2, 3.于是

a12 a13 a14 4 c11 a1k bk 1 k 1 b21 b31 b41 b11c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2k 1 4

a11

四、矩阵的转置定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作AT . 例 1 4 AT 2 5 ; 2 8

1 2 2 A , 4 5 8

B 18 6 ,

18 B . 6 T

转置矩阵的运算性质(1) ( AT )T A; (2) ( A B)T AT BT ;

(3) (l A)T l AT ;(4) ( AB)T BT AT .

例：已知

1 7 1 2 0 1 T A , B 4 2 3 , 求 AB . 1 3 2 2 0 1 1 7 1 0 1 4 2 3 3 2 2 0 1 0 17 14 3 , ( AB )T 14 13 . 13 10 3 10

解法1

2 AB 1 0 17

解法2

( AB) B AT T

T

1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 3 14 13 . 1 3 1 1 2 3 10 定义：设 A 为 n 阶方阵，如果满足 A AT ,即

aij

aji那么 A 称为对称阵.

i ,j

1,2, n ,

12 6 1 A 6 8 0 1 0 6

对称阵