第12章 非正弦周期电流电路 重点 1. 周期函数分解为付里叶级数 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率

3. 非正弦周期电流电路的计算

12.1

非正弦周期信号

生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周 期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技 术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 非正弦周期交流信号的特点 (1) 不是正弦波

(2) 按周期规律变化

f ( t ) f ( t kT )

例1

半波整流电路的输出信号

例2

示波器内的水平扫描电压

周期性锯齿波

例3

脉冲电路中的脉冲信号

T

t

例4 交直流共存电路 +V

Es

12.2 周期函数分解为付里叶级数周期函数展开成付里叶级数：直流分量 基波(和原 函数同频) 二次谐波 (2倍频)

f (t ) A0 A1m cos( 1t 1 ) A2m cos(2 1t 2 ) Anm cos(n 1t n )

高次谐波

f (t ) A0 Akm cos(k 1t k )k 16

也可表示成：

Akm cos(k 1 t k ) ak cos k 1 t bk sin k 1 t

f ( t ) a0 [ak cos k 1 t bk sin k 1t ]k 1系数之间 的关系为

A0 a02 2 Akm a k bk a k Akm cos k bk k arctan ak

bk Akm sin k

系数的计算：

1 T A0 a0 f ( t )d t T 0 1 2 a k f ( t ) cos k 1 td ( 1t )

0

bk

1

2

0

f ( t ) sin k 1 td ( 1 t )

求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。

利用函数的对称性可使系数的确定简化

f(t)(1)偶函数

f (t ) f ( t )(2)奇函数

bk 0

-T/2f(t)

T/2

t

f (t ) f ( t )

ak 0

-T/2f (t) T/2

T/2

t

(3)奇谐波函数

T f (t ) f (t ) 2

a2 k b2 k 0

T

t9

例1 解

周期性方波信号的分解 图示矩形波电流在一个周期内 的表达式为：

iSImT/2 T

1 直流分量： I O T谐波分量：

Im iS (t ) 0

T 0 t 2 T t T 2

t

1

T

0

1 i S (t ) dt T2

T /2

0

Im I m dt 2

i S ( t ) sin k t d ( t ) 0 0 K为偶数 Im 1 ( cos k t ) 0 2 I m K为奇数 k k bK

ak

2

2

0

i S ( t ) cos k t d ( t ) 0

2Im

1 sin k t k2 K

0(K为奇数)

is 的展开式为：

2Im AK b a bK k aK K arctan 0 bK2 K

Im 2Im 1 1 iS (sin t sin 3 t sin 5 t ) 2 3 511

周期性方波波形分解

直流分量

t三次谐波 五次谐波

基波

t

t

七次谐波12

直流分量+基波

直流分量基波 直流分量+基波+三次谐波

三次谐波13

等效电源

iSIm

t T/2

T

IS0

is1 is 3 is 5is5

I m 2I m 1 1 iS

(sin t sin 3 t sin 5 t ) 2 3 5IS 0

is1

is3

Akm

iSIm

矩形波的频谱图

t T/2

T

0

3

5

7

I m 2I m 1 1 iS (sin t sin 3 t sin 5 t ) 2 3 5

例2f(t)

给定函数 f(t)的部分波形如图所示。为使f(t) 的傅立叶级数中只包含如下的分量： (1) 正弦分量； (2) 余弦分量； (3) 正弦偶次分量； (4) 余弦奇次分量。

O

T/4

t 试画出 f(t) 的波形。

解

(1) 正弦分量； f(t)

T/2 T/4

O T/4

T/2

t16

(2) 余弦分量；

f(t)

T/2 T/4f(t) (3) 正弦偶次分量；

O T/4

T/2

t

T/2 T/4f( t) (4) 余弦奇次分量。

O T/4

T/2

t

T/2 T/4

O T/4

T/2

t17

12.3 有效值、平均值和平均功率1. 三角函数的性质(1)正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。 k整数

2

0

sin k td ( t ) 0

2

0

cos k td ( t ) 0

(2)sin2、cos2 在一个周期内的积分为 。

2

0

sin k td ( t ) 2

2

0

cos 2 k td ( t )

(3)

三角函数的正交性2

0 2 0 2 0

cos k t sin p td ( t ) 0 cos k t cos p td ( t ) 0 sin k t sin p td ( t ) 0

k p 19

2. 非正弦周期函数的有效值若

i ( t ) I 0 I km cos( k t k )k 1

则有效值:

I

1 T 1 T

T

0 T

i 2 t d ( t ) I 0 I km cos k t k d ( t ) k 1 2

0

利用三角函数的正交性得：

I

I 2 0 k 1

I

2 km

2

I 结论

I I I 2 0 2 1 2 2

周期函数的有效值为直流分量及各次谐波 分量有效值平方和的方根。