求二面角方法——5无棱二面角

二面角——5无棱二面角

无棱二面角：

5.已知正方体AC'，M、N分别是BB'，DD'的中点，求截面AMC'N与面ABCD，CC'D'D所成的角。

解：设边长为a，易证ANC'N是菱形

且MN＝2a，A'C＝3a ∴Ｓ□AMC'N＝

A’

A

C C’

162MN AC' a

22

由于AMC'N在面

ABCD上的射影即 为正方形ABCD ∴Ｓ□ABCD＝a ∴cos 1

2

a262

a26 3

6 3

∴ 1 取CC'的中点M'，连结DM'

则平行四边形DM'C'N是四边形AMC'N在CC'D'D上的射影， Ｓ□DM'C'M＝

12a 2

12a

∴cos 2

662

a2

∴ 2 6

6

13.在正方体ABCD A1B1C1D1中，K BB1，M CC1，且

BK

1

BB14，

CM

3

CC14.．求：平面AKM与ABCD所成角的大小．

解析：由于BCMK是梯形，则MK与CB相交于E．A、E确定的直线为l，过C作CF⊥l于F，连结MF，因为MC⊥平面ABCD，CF⊥l，故MF⊥l．∠MFC

CM

是二面角M－l－C的平面角．设正方体棱长为a，则

3

a4，

311CF aBK aEB a

，故4．在△ECM中，由BK∥CM可得2，tan MFC

1 AD 1，求二平12．如图ABCD A1B1C1D1是长方体，AB＝2，AA1C与A1B

1C1D1所成二面角的大小． 面AB

π 4．因此所求角的大小为4或4．

1C与平面A1B1C1D1的交解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴平面AB

1C与A1B1C1D1所线l为过点B1且平行于AC的直线．直线l就是二平面AB

成二面角的棱．又AA1⊥平面A1B1C1D1，过A1作AH⊥l于H，连结AH．则

AHA1为二面角A l A1的平面角．可求得

求角的大小为

tan AHA1

2．因此所

5

π 2或2

9.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a,E是PA的中点.

(1)求证平面BDE⊥平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角A－EB－D的平面角大小.

解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO. ∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点，

∵E是PA的中点，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD，EO 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD. (2)EO∥PC，PC 平面PBC，

∴EO∥平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离. 作OF⊥BC于F，

∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC 平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离.

aa3

由条件可知，OB＝2,OF＝2×2＝4a，则点E到平面PBC的距离为

34

a.

(3)过O作OG⊥EB于G，连接AG∵OE⊥AC，BD⊥AC∴AC⊥平面BDE ∴AG⊥EB(三垂线定理)∴∠AGO是二面角A－EB－D的平面角

11OE OB33

∵OE＝2PC＝2a,OB＝2a∴EB＝a.∴OG＝EB＝4a又AO＝12a.

AO22∴tan∠AGO＝OG＝3∴∠AGO＝arctan3.

评析本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.

(侧重计算)10.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分

11

别在棱AB、BC上，G在对角线BD1上，且AE＝4，BF＝2，D1G∶GB

＝1∶2，求平面EFG与底面ABCD所成的二面角的大小. 解析：设G在底面ABCD上的射影为H，H∈BD，

GHGB2DDDB∵1＝1＝3 2∴GH＝3

作HM⊥EF于M，连GM，由三垂线定理知GM⊥EF，则∠GMH＝θ就是

GH

平面BFG与底面ABCD所成的二面角的平面角，tanθ＝HM.

下面求HM的值.

建立如图所示的直角坐标系，据题设可知.

1211H(3，3)、E(4，0)、F(1，2)

∴直线EF的方程为

1

y 011

01

4， 2＝

x

即4x－6y－1＝0.

由点到直线的距离公式可得

124 6 133

｜HM

｜＝

42 62

11

＝6，

2644∴tgθ＝3·11＝11，θ＝arctg11.

说明运用解析法来求HM的值是本例的巧妙所在.

11.如图，设ABC－A1B1C1是直三棱柱，E、F分别为AB、A1B1的中点，且AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝a. (1)求证：AF⊥A1C

(2)求二面角C－AF－B的大小

分析本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识. 解(1)∵AC＝BC，E为AB中点，∴CE⊥AB 又∵ABC－A1B1C1为直棱柱，∴CE⊥面AA1BB 连结EF，由于AB＝2AA1 ∴AA1FE为正方形

∴AF⊥A1E，从而AF⊥A1C

(2)设AF与A1E交于O，连结CO，由于AF⊥A1E，知AF⊥面CEA1 ∴∠COE即为二面角C－AF－B的平面角 ∵AB＝2AA1＝2a,AC＝BC

＝3a

2a22

a

2∴CE＝a,OE＝2a,∴tan∠COE＝2＝2.

∴二面角C－AF－B的大小是arctan2.

14.如图，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角

C AD C．

（1）若二面角C AD C是直二面角，求C C的长； （2）求AC 与平面C CD所成的角；

（3）若二面角C AD C的平面角为120°，求二面角A C C D的平面角的正切值．

解析：（1）若 C DC 90 ，∵AC＝a，∴

DC DC

1

a

2，∴

CC

2a2．

（2）∵AD DC ，AD⊥DC，∴AD⊥平面DC C．∴ AC D为AC 与平面DC C所成的角，在Rt△ADC 中，

DC DC

1AC2，∴

DAC 30 ，于是 AC D 60 ．

（3）取CC 的中点E，连结AE、DE，∵DC DC，AC AC，∴

AE C C，DE C C，∴∠AED为二面角A C C D的平面角，∵ C DC 120 ，

C D CD

11

aDE a2，∴4，在Rt△AED中，

a

ADtan AED 2．

31DEAD aa2，∴4