导数在中学物理学中的应用

中学物理巧妙运用导数

把实际问题抽象成数学模型，科学已经有一套比较成熟的思想、方法和技术。但科学没有直接到数学中去发现自然规律。究其原因是在一般人的意识里，数学只是一个工具；借助于这个工具可以更好、更快和更多地发现自然规律，却不知道在这个工具里还隐藏着自然界最一般的规律。虽说数学哲学研究数学的真理性，但它不研究怎样去发现隐藏在数学中的真理。挖掘数学的真理，就是要挖掘出潜藏于数学的宇宙基本信息，使隐含其中的规律自然显现出来。这不仅是一种新的科学思维方法和技术，而且对于“数学地理解”问题，或者说通过数学看世界也是十分重要的。现在导数已经进入了中学数学，因此它必将对中学物理的教学产生较大的影响。笔者结合自己的教学实践，列举几例，作为引玉之砖。

一. 利用导数求某些物理量的变化率问题

导数就是一个量对另一个量的变化率，在物理学中的基础，例如物体的动量对时间的导数为合力，位移对时间的导数为速度，速度对时间的导数为加速度，质量对体积的导数为密度，电量对时间的导数为电流强度，电压对电流的导数等于导体的电阻，单位质量的物质吸收或者放出的热量对时间的导数等于物质的比热容，电容器的电量对电压的导数等于电容，功对时间的导数等于功率，磁通量对时间的导数的相反数是感应电动势，在场强方向上电势对位移的导数等于电场强度等等。

例1 假设一个闭合线圈的磁通量为φ=3sin5t+4cos5t,求感应电动势的最大值。 解：根据电磁感应定律ε= —φ`=-15cos5t+20sin5t=25sin(5t-arctan0.75),所以感应电动势的最大值为25V。

二 利用导数求某些物理量的最值问题

例2 重量为G的木块，停在水平地面，它与地面间的滑动摩擦系数为μ，一个人想用最小拉力F使木块沿地面匀速运动，则F为多少？

解：设拉力与水平方向夹角为θ时，木块匀速运动，由力的平衡条件得：

Fcosθ-f=0 ① , Fsinθ+N=G②， f=Nμ③，θ为锐角。

由①②③得F=Gμ/（μsinθ+cosθ），令T=μsinθ+cosθ，则T`=μcosθ-sinθ,令T`=0，得tanθ=μ，sinθ=μ/（1+μ2）0.5，cosθ=1/（1+μ2）0.5，在θ=arctanμ处，T取极大值，又因为只有一个极值点，所以T取最大值，因此Fmin=Gμ/（1+μ2）0.5.

例3、一半径为R的圆盘绕水平轴匀速旋转边缘速度为v，轮边缘有水滴从各位置甩出，

求轮边缘抛出的水滴上升的最大高度及相应的抛出点

位置。

解：如图，设∠AOB=θ，则A点高度h0=Rsinθ，

A点抛出水滴竖直速度为vcosθ，上升的最大高度

h=v2cos2θ/2g。∴上升的最大高度H= h0+h =Rsin

θ+v2cos2θ/2g =Rsinθ+v2（1-sin2θ）/2g ，令

u=sinθ∈[-1，1]

∴H= - v2 u2/2g+ Ru+ v2/2g

22H`=- v2 u/g+ R，若- v2 u/g+ R＞0，则u＜gR/v; 若- v2 u/g+ R＜0，则u＞gR/v。

∴1. 若gR/v2≤1，则Hmax=(v4+R2g2)/2v2g

2、若gR/v2 ≥1， 则H是u的减函数，当u=1，Hmax = R

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