概率论与数理统计(茆诗松)第二版第三章课后习题3.1参考答案

第三章 多维随机变量及其分布

习题3.1

1． 一批产品中有一等品50%，二等品30%，三等品20%．从中有放回地抽取5件，以X、Y分别表示取

出的5件中一等品、二等品的件数，求 (X, Y ) 的联合分布列． 解：X, Y的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，

且P{X=i,Y=j}=

5!

×0.5i×0.3j×0.25 i j,i=0,1,2,3,4,5;j=0,L,5 i，

i! j! (5 i j)!

故 (X, Y ) 的联合分布列为

YX12345

00.0040.020.050.06250.03125

10.0240.09

20.0540.135

30.0540.0675000

40.020250000

500000

0.150.11250.0937500

2． 100件商品中有50件一等品，30件二等品，20件三等品．从中不放回地抽取5件，以X、Y分别表

示取出的5件中一等品、二等品的件数，求 (X, Y ) 的联合分布列． 解：X, Y的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，

50 30 20 i j 5 i 且P{X=i,Y=j}=

100 5

故 (X, Y ) 的联合分布列为

j ,i=0,1,2,3,4,5;j=0,L,5 i，

YX123

45

01234500000

0.00320.02270.05490.05390.01820.01850.09270.14160.06610.04950.15620.11320.06120.091800.0281

00

0000

3． 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X表示取到黑球的个数，以Y表示取

到红球的个数，试求P{X = Y }．

3 2 2 3 2 1 1 2 2 2 =6+3=9．

解：P{X=Y}=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=+

353535 7 7

4 4

4． 设随机变量Xi , i =1, 2的分布列如下，且满足P{X1X2 = 0} = 1，试求P{X1 = X2}．

XiP01 1

0.250.50.25

解：因P{X1 X2 = 0} = 1，有P{X1 X2 ≠ 0} = 0，

即P{X1 = 1, X2 = 1} = P{X1 = 1, X2 = 1} = P{X1 = 1, X2 = 1} = P{X1 = 1, X2 = 1} = 0，分布列为

故P{X1 = X2} = P{X1 = 1, X2 = 1} + P{X1 = 0, X2 = 0} + P{X1 = 1, X2 = 1} = 0．

5． 设随机变量 (X, Y ) 的联合密度函数为

k(6 x y),0<x<2,2<y<4,

p(x,y)=

0,其他.

试求

（1）常数k；

（2）P{X < 1, Y < 3}； （3）P{X < 1.5}； （4）P{X + Y ≤ 4}． 解：（1）由正则性：∫

+∞+∞ ∞ ∞

∫

p(x,y)dxdy=1，得

4

∫

故k=

2

dx∫k(6 x y)dy=∫

2

42

1

； 8

1

3

22 y2 2

dx k 6yxy=k(6 2x)dx=k(6x x)=8k=1， ∫ 002 2

（2）P{X<1,Y<3}=∫dx∫

1

2

y 11

(6 x y)dy=∫dx 6yxy 088 2 2

1

1

2

3

x2 1 71 73 x=； =∫ x dx= 0828228 0

（3）P{X<1.5}=∫dx∫

01.5

4

1.5y 11

(6 x y)dy=∫dx 6yxy 088 2 2

2

4

4 x

2

=∫

1.5

1.51271

； (6 2x)dx=(6x x2)=

08832

2

4 x

2y2 11

(6 x y)dy=∫dx 6y xy 088 2 2

2

（4）P{X+Y<4}=∫dx∫

2

2

=∫

x2 x3 1 1 22

xdxxx=． 6462= + + 8 2 8 6 03

6． 设随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

ke (3x+4y),x>0,y>0,

p(x,y)=

0,其他.

试求

（1）常数k；

（2）(X, Y ) 的联合分布函数F (x, y)； （3）P{0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2}． 解：（1）由正则性：∫

+∞+∞ ∞ ∞

∫

p(x,y)dxdy=1，得

∫

+∞

dx∫

+∞

ke

(3x+4y)

dy=∫

+

∞

dx k

故k = 12；

（2）当x ≤ 0或y ≤ 0时，F (x, y) = P ( ) = 0，

当x > 0且y > 0时，

F(x,y)=∫du∫12e

xy

(3u+4v)

dv=∫du [ 3e

x

(3u+4v)

]=∫3e 3u(1 e 4y)du

yx

= e 3u(1 e 4y)=(1 e 3x)(1 e 4y)

x

故(X, Y)的联合分布函数为

(1 e 3x)(1 e 4y),x>0,y>0,

F(x,y)=

0,其他.

（3）P{0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2} = P{X ≤ 1, Y ≤ 2} = F (1, 2) = (1 e 3) (1 e 8)．

7． 设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

4xy,0<x<1,0<y<1,

p(x,y)=

其他0,.

试求

（1）P{0 < X < 0.5, 0.25 < Y < 1}； （2）P{X = Y }； （3）P{X < Y }；

（4）(X, Y ) 的联合分布函数．

解：（1）P{0<X<0.5,0.25<Y<1}=∫dx∫

00.5

10.25

0.5

10.25

4xydy=∫dx 2xy2

0.50

=∫

（2）P{X = Y } = 0；

1

1

0.5

1515xdx=x2816

1

=

15

； 64

1

（3）P{X<Y}=∫dx∫4xydy=∫dx 2xy2

x

1x

=∫(2x 2x3)dx

1 1

= x2 x4 =；

2 02

（4）当x < 0或y < 0时，F (x, y) = P ( ) = 0，

当0 ≤ x < 1且0 ≤ y < 1时，

1

F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∫du∫4uvdv=∫du 2uv2

xyxy0

=∫2uy2du=u2y2

0x

x0

xx0

=x2y2；

当0 ≤ x < 1且y ≥ 1时，

F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∫du∫4uvdv=∫du 2uv2

x1x10

=∫2udu=u2

01

=x2；

当x ≥ 1且0 ≤ y < 1时，

F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∫du∫4uvdv=∫du 2uv2

1y1y0

=∫2uy2du=u2y2

10

=y2；

当x ≥ 1且y ≥ 1时，F (x, y) = P ( ) = 1， 故(X, Y ) 的联合分布函数为

0, 22xy,

F(x,y)= x2,

y2, 1,

x<0或y<0,

0≤x<1,0≤y<1,

0≤x<1,y≥1,

x≥1,0≤y<1,x≥1,y≥1.

8． 设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

k,0<x2<y<x<1,

p(x,y)=

0,其他.

（1）试求常数k； …… 此处隐藏：2872字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……