状态反馈的倒立摆PID控制(5)

可做计控作业使用

u t K3x K4 x d (19)

t

可以看出这是状态反馈加状态积分反馈的形式。如果能够找到一组状态变量，使得状态反馈就是比例积分加微分，那么该状态反馈策略就是PID控制。对于n阶系统，微分部分包括了系统从1阶到n 1阶的微分；若是二阶系统，该部分就是一个工程中常用的PID控制器。现在讨论反馈增益矩阵K，使得增广系统满足稳定的指标。即设计反馈矩阵K使得闭环系统稳定。此时闭环系统的状态方程为

t z t (20) z

根据Lyapunov理论可得，存在对称正定矩阵P使得

TP KTTP 0(21)

在上式左右两边左乘P 1，右乘 P 1 ，并令L KP 1则得到

T

P 1T LTT 1 0(22)

这是关于L与P 1的线性矩阵不等式，又由于P正定则P 1正定，因此上述LMI可以改写为

P 1T LTT 1 0

0(23) 1 0 P

通过MATLAB可以求得L与P 1，由此可以解出对称正定矩阵P与反馈增益K。 下面通过MATLAB进行仿真和计算。仍然采用之前仿真时使用的小车质量与摆杆质量等数据，可以得到增广系统的状态方程的系数为

0

15.56 0

0.37 0

100000001000000

0 0.74 0 0 ， 0

0.49 0

1 0 0

通过MATLAB计算可得反馈增益K为 1126.8281.413.635.2 23.7 ，因此

K3 022.250 14.73 ，K4 775.14281.3913.6235.19 ，代入控制器u的表达式中得到u t K3x K4 x d ，仿真曲线图如下所示。

0t