§4.4.2二阶常系数线性微分方程1

4.4.2 二阶常系数线性微分方程的解法方程ay by cy f ( x ) (a , b, c 均为常数),

称为二阶常系数线性微分方程。

(一)二阶常系数线性齐次方程的解法

ay by cy 0 ,猜想方程①具有y erx

①

形式的解，其中r 为 待 定 常 数，

rx 2 rx rx y re y r e y e 将 ， , 代入方程①,rx 2 rx e ( ar br c ) 0 得 ， e 0

方程 ay by cy 0ar br c 0 ,方程②叫做方程①的特征方程。2

①

②

按特征方程的两个根 r1 , r2 的三种可能情况 ：

1. r1 r2 是两个不相等 的实根；2. r1 r2 是两个相等 的实根； 3. r1 i , r2 i 是一对共轭复数。分别讨论方程①的通解。

1.特征方程的根是两个不相等实数的情形。∵er 1x

, e

r2 x

是方程①的特解，( r1 r2 ) x

且 r x e e 2

er 1 x

不为常数，它们是线性无关的，

r 1x r 2x y C e C e ∴ 方程①的通解为 。 1 2

2.特征方程的根是两个相等实数的情形。b ∵ r1 r2 r ,只知一个特解 y1 e r x , 2a

∴还需找一个与 y1 线性无关的特解 y 2 ,

rx y u ( x ) e , u( x )为待定函数 。 设 2

e rx [ u ( x ) ru( x )] , 将 y2 , y2 e rx[u ( x ) 2ru ( x ) r 2 u( x )] 代入方程①得 y2e rx[au ( x ) ( 2ar b )u ( x ) (ar 2 br c )u( x )] 0 ,rx e 0 , 2ar b 0, ∵

ar 2 br c 0 ,

∴ u ( x ) 0 ,

取 u ( x ) 0 的一个解 u( x ) x ,则 y2 xerx 。∴方程①的通解为 y C1e rx C 2 xe rx ,

即

y e (C1 C 2 x )

rx

。

3.特征方程的根是一对共轭复数的情形。

∵ y1 e ( i ) x 、 y2 e ( i ) x 是方程①的特解，

y1 e ( i ) x 2 i x 且 e 不为常数，它们是线性无关的， y2 e ( i ) x∴ 方程①的通解为 y C1e ( i ) x + C 2e ( i ) x 。由欧拉公式 e i cos i sin 可得

y1 e x (cos x isin x ) ,y2 e x (cos x i sin x ) ,

1 1 x x y ( y y ) e sin x , y1 ( y1 y2 ) e cos x , 2 1 2 2i 2

y1 e x cos x cot x 不是常数, y2 e x sin x

∵函数 y1 和 y2 都是方程①的解，且它们是线性无关的，∴ 方程①的通解为 y C1 y1 C 2 y2 ,即

y e x (C1 cos x C 2 sin x )(其中 , 为特征方程的复根的实部及虚部) 。

小结 求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤：(1)由微分方程写出对应的特征方程(代数方程) ;

(2)求解特征方程的根；(3)按特征根的情况(单根、重根、共轭复根) 写出微分方程的通解：

特征方程 ar br c 0有两个不相等实根 r1 , r2 有两个相等实根 r r1 r2有一对共轭复根 r1 ,2 i

2

方程 ay by cy 0 的通解

y C1erx

r1 x

C 2e

r2 x

y e (C1 C2 x )y e x (C1 cos x C 2 sin x )

例 4.求下列方程的通解 (1) y 4 y 3 y 0

解：其特征方程为 r 4r 3 0 ,( r 1)(r 3) 0 ,特征根为r1 1 , r2 3 ,

2

∴ 方程的通解为 y C1e x C2e 3 x 。(2) 4 y 12 y 9 y 02 4 r 12 r 9 0 , 解：其特征方程为 3 特征根为 r1 r2 , 3 2

∴ 方程的通解为 y e 2 (C1 C 2 x ) 。

x

(3) y 2 y 2 y 0解：其特征方程为 r 2 2r 2 0 ,

2 4 i 特征根为 r1,2 1 i , 2

∴ 方程的通解为 y e x (C1cosx C2 sinx ) 。

(二)高阶常系数线性齐次方程的解法n 阶 常 系 数线性齐次方程为

a y ( n ) a1 y ( n 1) an 1 y an y 0 ,

①

其特征方程为 a r n a1r n 1 a n 1r a n 0 .②方程②是一个一元 n 次 方 程， 有 n 个 根 。类似二阶常系 数线性齐次方程，相应地可得到方程①的 n 个 线 性 无 关 的解，把这 n 个 线 性 无 关 的解分别乘以任意常数后相加， 即得方程①的通解。

特征方程的根

方程①通解中的对应项

单实根 rk 重实根r 一对单复根r1,2 i

给出一项 Ce

rx

给出 k 项 e rx (C1 C 2 x C k x k 1 )

给出两项 e给出2k 项

x

(C1 cos x C2 sin x )

一对 k 重复根 r1,2 i

e x [( C1 C 2 x C k x k 1 )cos x ( D1 D2 x Dk x k 1 )sin x ]

例 6.求方程 y(4) 2 y 5 y 0 的通解。

解：特征方程为 r 4 2r 3 5r 2 0 ,即 r 2 (r 2 2r 5) 0 ,

特征根为r1,2 0 (2 重) ;r3,4 1 2i 。

故方程的通解为y C1 C 2 x e x (C 3 cos 2 x C 4 sin 2 x ) 。

例 7.具有特解形式 y1 e

x

, y2 2 xe

x

,y3 3e x 的

三阶常系数齐次微分方程是( (A) y y y y 0 ; (B) y y y y 0 ; (C) y 6 y 11 y 6 y 0 ; (D) y 2 y y 2 y 0 。

)

解：由方程的特解可知齐次方程对应的特征方程r3 1 , 的特征根为 r1,2 1 ,

于是特征方程为(r 1)2 (r 1) 0 ,即 r 3 r 2 r 1 0 ,

故三阶常系数齐次微分方程为 y y y y 0 。

故应选(B)。

(三)二阶常系数线性非齐次微分方程的解法设二阶常系数线性齐次方程为 ay by

cy 0 二阶常系数线性非齐次方程为ay by cy f ( x ) ① ②

若 y 是方程 ②的一个特解， Y 是 方 程①的通解， y Y y 则 是方程②的通解。

求方程②的通解关键在于求其一个特解。下面介绍 当自由项 f ( x ) 为两种特殊类型函数时方程②特解的求 法—待定系数法。

x ) 1. f ( x) Pm ( x)e (其中pm ( x)是 x 的 m 次多项式

这时方程②为 ay by cy Pm ( x )e x x (其中Q ( x )是多项 …… 此处隐藏：1098字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……