流体力学

5 实际(粘性)流体动力学基础5.1 粘性流体运动微分方程(N——S方程)X ux ux ux ux 1 p 2 ux ux uy uz x t x y z

uy uy uy uy 1 p 2 Y u y ux uy uz y t x y z Z uz uz uz uz 1 p 2 uz ux uy uz z dt x y z

流体力学

牛顿流体， 二元平行直线流 du dy

理想流体p p ( x. y.z , t ) p xx p yy p zz p p p

实际流体

p p( x. y.z, t )

p

1 ( p xx p yy p zz) 3

p xx p yy p zz p p p p 1 ( p xx p yy p zz) 3

流体力学

5.2 恒定元流的能量方程d (U p

p

u

2

2

) ( u x dx u y dy u z dz ) 02 2 2

即：

d ( U X U x

u

2

2Y

) ( u x dx u y dy u z dz )2 2 2

U y

Z

U z移时，

( 2 u x dx 2 u y dy 2 u z dz ) — 单位质量流体作微小位切应力做的功。

质量力只有重力， d ( gz p

U -gz u2

p

2 u2

) ( u x dx u y dy u z dz ) 02 2 2

或：

d (z

)

g

2g

( u x dx u y dy u z dz ) 02 2 2

流体力学

g

( u x dx u y dy u z dz ) d h w2 2 2

'

— 单位质量流体粘滞力所

做的微功。

d (z 沿流线积分： ( z2 p1

p

u

2

2g

) d hw 0

'

p2

2

u2 2g2

) - ( z1 p2

p1

2

2

2

u1 2g

)

1

d hw 0

'

z1

u1 2g

z2

u2 2g

hw

'

流体力学

5.3 恒定总流的能量方程5.3.1 渐变流及过流断面上的压强分布x、 y、 ' (垂直于流向) z'

图5.1 坐标

渐变流： u x u , y 0, z 0; u u uy x

uy y

uy z

0;

uz x

'

uz y

'

uz z

'

0

N S 方程为： X 1 p ( uy t uz t'

u y2

2

x1 p

u z'

2

) 2

u t

Y

y1 p

' z

z

'

流体力学

恒定流的

N S 方程为： X Y z '

1 p

x1 p

u 02

y1 p

0 0

z

'

质量力只有重力， 1 p

X g sin ,Y 0,Z ' g cos

1 p 0 0 y y 1 p g cos g cos 0 1 p 0 z' z'

流体力学

1 p

y

0 1 p

dy

+

g cos

z''

0

d z

'

g cos d z (

p z'

d z '

p y

dy ) 0

cos d z ' dp 0 cos z ' p c 'z z cos ,'

z

p

c

符合静水压强分布规律2

x 方向 : g sin

1 p

x

(

u y2

u z'2

2

) 0

流体力学

5.3.2 恒定总流的伯努利方程 1、渐变流 性质：①流线近似于平行的直线，流线之间的夹角很小， 曲率半径很大。②动水压强符合静水压强规律分布。 2、总流的伯努利方程

z

1i

p 1i

2

u 1i 2g

z

2i

p 2i

2

u 2i 2g

h wi

'

流体力学

gz

p

u c 22

上式两边乘 dpQ 得：c i u z g2

2g

u z c g 2 g2

p

2

(z 1i

p 1i

2 2 2 p i u 1 i 1 p 1 i u1 u 1 ip 2 up 2i p 2u 2 u 2 i z1z i )d Q z 2 2 i 2 i (i z 2 1 i 2 g2 g g 2 g 2 g 2 g g 2g

2

z

) d Q i

' h wi d Q i

对总流积分有：p 1i u 1i z 1i u 1 i d A 1 i u 1i d A 1i 2g A 1 A1 p 2i z 2i g A2 ' u 2i u 2 i d A 2 i u 2 i d A 2 i h wi u 2 i d A 2 i 2g A1 A12 2

三种类型的积分：

流体力学

⑴ z udA A

p

渐变流 z p c

p p z udA z Q A

⑵

2gA

u

2

udA A

u

3

dAu3

2g

u

令

2gA

dA

u dA3 A

2 g dAA

3

dA3 A

2 g udA A

u

2

22g

Q

1.05 ~ 1.1 取 1.0

流体力学

⑶ z1 1

hA1

' w

udA hw Q2

p p 1 dp u 0 d Q gdz Q z Q 2g 2g 2 21 1 2 2 1 2 2

2 2

g Q 2 h w g Q 2

z1

三、总流伯努利方程的物理意义和几何意义

p z u 2 gz g c2 g 2 2

p1

1 1

2

p 2 2

2 2

2

hw

p

u u z ——总流过水断面上某点的位置高度(位置水头); c z c g 2 g g 2 g——总流过水断面上某点的压强高度(压强水头); 2 2

p

2

p

2

g

p1 p2 u1 u2 2 2 2 ——总流过水断面上流速水头(平均动能)。 gudA 1 gQ g 2 g g 2 g

z

z

2g

流体力学

gz p u2

2 c

2 2 p2 2 2 2 gp 2 h w g Q 2 Q1 z 2 p g Q 2 Q u2 u c 2g z z g ——总流过水断面上的测压管水头(平均势能) c 2g g 2 g 2 2 2 2 2 p1 ——总流两过水断面的平均水头损失。 p2 u 2 u1 hw 2g z1 2 g z 2 2 g 2 p z ——总流过水断面上的总水头(总机械能)。

2g

流体力学

p1 p2 1 1 2 2 z1 Q1 Q 2 Q1 z 2 g Q 2 h w g Q

2 方程式的物理意义： 2g 2g z1 p1

2

2

1 12g

2

z2

p2

2 22g

2

hw

H 1 H 2 hw

E1 E 2 hw

实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头 小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。 实际液体总流的总水头线必定是一条 逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是 下降的线也可能是上升的线甚至可能是一 条水平线。 水力坡度J——单位长度流程上的水头 损失， 1J d hw dL dH dL d (Z V 2g 2g22

总水头线

hw

测压管水头线

2

2p pZ2

测管坡度 J p

g

)

Z1

1

0

0

dL

流体力学

5.3.3 恒定总流能量方程的应用应用能量方程式的条件：(1)水流必需是恒定流；(2)作用于液体上的质量力只有重力； (3)在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件，但所 取的两个断面之间，水流可以不是渐变流； (4)在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加 入或分出。 (5)流程中途没有能量H输入或输出。

流体力学

应用能量方程式的注意点： (1)选取高程基准面； (2)选取两过水断面； 所选断面上水流应符合渐变流的条件，但两个 断面之间，水流可以不是渐变流。 (3)选取计算代表点； (4)选取压强基准面； (5)动能修正系数一般取值为1.0。

流体力学

hw h f h hf

j

l

2

d 2g

hj

2

2g

恒定总流能量方程的物理意义： 各过流断面单位重力流体的平均势能与平均动能 之和。即总能量沿程减少，部分转化为热能而损失。也 表明各项能量之间可以互相转化。

流体力学

思考： 水流由流速大的地方往流速小的地方流？ 水流由压力大的地方往压力小的地方流？ 位置高的地方往位置低的地方流？

总水头线沿程下降，测压管线可以上升 也可以下降。例5.1、5.2

流体力学

5.4 气流的能量方程气流——可压缩流体。若υ< 60m/s 的流体，仍然可应用能量方程。

z1

p abs,1

2 1

2g

z2 2

p abs, 2

2

2

2g

h w1 2

z1 p abs,1

12

z 2 p abs, 2

22

2

p w1 2

流体力学

p a ,1 p a , 2 a ( z 2 z1) p a , 2 p a ,1 a ( z 2 z1) p abs,1 p1 p a ,1 p abs, 2 p 2 p a , 2 122

p1

(

a

)( z 2 z 1 ) p 2

2

2 2

pw

流体力学

p1

1

2

2g

( a )( z 2 z1) p 2

2

2

2g

pw

p1 、 2 — —静压 p

12

2

、

22

2

— —动压，静压 动压 全压

p w — —压强损失

气体的重度于大气的重度相差很小，或两 断面的高程相差不大，

即：当

a ( a )或 z1 z 2 时p1

1

2

2g

p2

2

2

2g

pw

流体力学

5.5 两断面间有分流或汇流的能量方程若有分支，则应对第一支水流建立能量方程式，例如图示 2 2 p1 p2 1 2 2 z1 Q1 1 Q1 z 2 Q 2 g Q 2 h w g Q 2 有支流的情况下,能量方程为： 2g 2g

p1p1 1 1 1 1 p3 3 p 2 2 2 3 3 z1 z1 Q1 z 3 Q z 2 h w1 3Q 2 Q1 g Q 2 h w g Q 2 1 2g g 2 2g g 1 22 Q3 2 2

2

12

z2

p2

2 22g

2

z3

p3

3 32g

2

Q23

h w 2 3

2