2011高考试题——数学文(全国卷)解析版

时间：2025-07-09

高中数学必备题

2011年高考题全国卷II数学试题·文科全解全析

科目：数学试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(文

科)

高中数学必备题

x y 6 (4)若变量 x,y 满足约束条件 x 3 y -2 ,则 z = 2 x 3 y 的最小值为 x 1

(A)17 29

(B)14

(D)3

【思路点拨】解决本题的关键是作出如右图所示的可行域。然后要把握住线性目标函数 z = 2 x 3 y 的 z 的取值也其在 y 轴的截距是正相关关系，进而确定过直线 x=1 与 x-3y=-2 的交点时取得最小值。【精讲精析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线 z = 2 x 3 y 过直线 x=1 与 x-3y=-2 的交点(1,1)时取得最小值,所以最小值为 5.

(5)下面四个条件中，使 a> b 成立的充分而不必要的条件是 (A) a> b 1 24 (B) a> b 12 2 (C) a > b 3 3 (D) a > b

【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出 a>b,而由 a>b 推不出选项的选项. 【精讲精析】选 A.即寻找命题 P 使 P a b , a b 推不出 P,逐项验证可选 A。

(6)设 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和，若 a1 1 ,公差 d 2 , S k 2 S k 2 4 ,则k

(A)8 11

(B)7

(D)5

【思路点拨】思路一：直接利用前 n 项和公式建立关于 k 的方程解之即可。思路二：利用 S k 2 S k a k 2 a k 1 直接利用通项公式即可求解，运算稍简。【精讲精析】选

D.S k 2 S k a k 2 a k 1 2 a1 (2 k 1) d 2 (2 k 1) 2 24 k 5.

(7)设函数 f ( x ) cos x ( > 0) ,将 y f ( x ) 的图像向右平移 19 所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 (A)1 3

个单位长度后，

(B) 3

(D) 9

高中数学必备题

【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将 y f ( x ) 的图像向右平移 3

个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了 3 2

是此函数周期的整数倍。

【精讲精析】选 C. 由题

k ( k Z ) ,解得 6 k ,令 k 1 ,即得 m in 6 .

(8) 已知直二面角 l ,点 A∈ , A C l ,C 为垂足，点 B∈β , B D l ,D 为垂足.若 AB=2,AC=BD=1,则 CD= (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D)1

【思路点拨】解决本题关键是找出此二面角的平面角，然后把要求的线段放在三角形 40 中求解即可。【精讲精析】选 C. 在平面内过 C 作 C M // B D ,连接 BM,则四边形 CMBD 是平行四边形，因为 B D l ,所以 C M l ,又 A C l , A C M 就是二面角 l 的平面角。 A C M 9 0 .

所以 A B A M2

M B A C B D C D , 代入后不难求出 C D 2 2 2 2

2。

(9)4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12 种 (B) 24 种 (C) 30 种 (D)36 种

【思路点拨】解本题分两步进行：第一步先选出 2 人选修课程甲，第二步再把剩余两 45 人分别选乙、丙. 【精讲精析】选 A.第一步选出 2 人选修课程甲有 C 4 6 种方法，第二步安排剩余两2

人从乙、丙中各选 1 门课程有 A2 2 种选法，根据分步计数原理，有 6 2 1 2 种选2

法。 (10)设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数，当 0 ≤x≤1 时， f ( x ) = 2 x (1 x ) ,则 f ( (A) 61 2 5 2 )=

(B)

1 4

(C)

1 4

(D)

1 2 5 2

【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量上进行求值。【精讲精析】选 A.

转化到区间[0,1]

高中数学必备题

先利用周期性，再利用奇偶性得: f (

5 2

) f (

1 1 ) f( ) . 2 2 2

(11)设两圆 C 1 、 C 2 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1) ,则两圆心的距离 C 1 C 2 = (A)4 (B) 4 2 (C)8 (D) 8 2

【思路点拨】本题根据条件确定出圆心在直线 y=x 上并且在第一象限是解决这个问题 42 的关键。【精讲精析】选 D.由题意知圆心在直线 y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为 (a,a)(a>0),则 a ( a 4 ) ( a 1) ,求出 a=1,a=9.所以 C1(1,1),C2(9,9),所以由2 2

两点间的距离公式可求出 C 1C 2 8 2 . (12)已知平面α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与α 成 6 0 二面角的平面

β 截该球面得圆 N.若该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4 ,则圆 N 的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13 0

【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。【精讲精析】选 B. 42 作示意图如，由圆 M 的面积为 4 ,易得M A 2, O M OA MA2 2

2 3,

R t O M N 中， O M N 30 。

故 M N O M cos 30 3, S 3 9 . . 2

(13)(1- x ) 的二项展开式中，x 的系数与 x 的系数之差为:r

.n r

【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意 C n C n 45 【精讲精析】 0.C 20 C 20 .18 2

.18

由 Tr 1 C 2 0 ( x )r

得 x 的系数为 C 2 0 , x 的系数为 C 2 0 , 而