复变函数课件

§5.1 孤立奇点1. 定义 2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系 5.

∞ 为孤立奇点的定义和分类

复变函数课件

1. 定义定义 若 f ( z )在 z 0 处不解析 , 但在 z 0的某个去心邻域 0 < z z 0 < R 内解析 , 则称 z 0为 f ( z )的孤立奇点 .~~~~~~~~~

例如 f ( z ) = e

1 z

----z=0为孤立奇点 为孤立奇点 ----z=1,2为孤立奇点 为孤立奇点

1 f ( z) = ( z 1)( z 2) 2f (z) = 1 1 sin z

----z=0及z=1/nπ (n = ±1 , ±2 ,…)都是它的奇点 及 都是它的奇点 都是它的

复变函数课件

1 但 ∵ lim = 0, ∴ 在 z = 0 不论多么小的去心 n→ ∞ nπ y 的奇点存在， 邻域内 , 总有 f ( z )的奇点存在，

1 sin z 的孤立奇点。 的孤立奇点。这说明奇点未 必是孤立的。 必是孤立的。

故z = 0不是

1

o

x

复变函数课件

如：0 不是 ln z的孤立奇点 , 只是奇点。 注：显然，若f(z)仅有有限个奇点，则必均为 孤立奇点。 分析：此时在去心邻域内

f ( z) =

n = ∞

cn ( z z 0 ) n = ∑

+∞

n = ∞

cn ( z z 0 ) n + ∑ cn ( z z 0 ) n ∑n =0

1

+∞

1 f ( z) 其中cn = ∫Cr ( z z0 ) n+1 dz (n = 0,±1, ), 2πi Cr为正向圆周 | z z0 |= r (0 < r < R)

复变函数课件

2. 分类展开式含负幂项的不同情况， 以下根据f (z)展开式含负幂项的不同情况，将孤立点 进行分类。考察： 进行分类。考察：sin z z2 z4 z 2n (1) = 1 + + ( 1) n + 3! 5! ( 2n + 1)! z

特点： 特点： 没有负幂次项 3 sin z 1 z z ( 2) 2 = + + z z 3! 5! 特点： 特点：只有有限多个负幂次项 1 1 2 1 n 1 z z + ( 3 )e = 1 + z + z + + n! 2! 特点： 特点：有无穷多个负幂次项

复变函数课件

的一个孤立奇点， 的去心邻域内， 定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内， 的一个孤立奇点 若f (z)的洛朗级数 的洛朗级数

( i ) f ( z ) = ∑ cn ( z z0 ) nn= 0

∞

没有负幂次项， 为可去奇点; 没有负幂次项，称z=z0为可去奇点

( ii ) f ( z ) =

n= m∞

∑c∑c

∞

~~~~~~~~

n

( z z0 ) (c m ≠ 0, m ≥ 1)n

只有有限多个负幂次项， 阶极点; 只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 阶极点 ~~~~~~~~

( iii ) f ( z ) =

n = ∞

n

( z z0 )

n

有无穷多个负幂次项， 为本性奇点。 有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。 ~~~~~~~~

复变函数课件

sin z 如0是 z sin z z2 e1 z

z2 z4 = 1 + ... 的可去奇点 3! 5! 1 z z3 = + + ... 的1阶极点 z 3! 5! 1 1 1 = 1+ + + 3 + ... 的本性奇点 2 z 2! z 3! z

复变函数课件

3. 性质(定理 ) 性质(定理5.1)若z0为f (z)的可去奇点 的可去奇点

f (z) =

c n ( z z 0 ) n lim f ( z ) = c 0 ∑n=0 z → z0

+∞

补充定义： 补充定义： f ( z 0 ) = c 0+∞

f ( z )在 z 0 解析 .

若z0为f (z)的m (m ≥ 1) 阶极点 的

f (z) =

1 lim f ( z ) = ∞ f ( z ) = ( z) m z → z0 ( z z0 )

n= m

∑ c (z z )n 0

n

( c

m ≠ 0, m ≥ 1 )

复变函数课件

其中 : ( z ) = c m + c m +1 ( z z0 ) + c m + 2 ( z z0 ) + ,2

( z )在 z z0 < R内是解析函数, 且 ( z0 ) = c m ≠ 0.z2 3z + 2 例如： 例如： f (z) = 2 (z +1)(z 1)4z=1为f (z)的一个三阶极点， z=±i为f (z)的一阶极点。 为 的一个三阶极点， ± 为 的一阶极点。 的一个三阶极点 的一阶极点 推论(极点的阶的求法 推论 极点的阶的求法): 极点的阶的求法 若z0为f(z)的极点，则是m阶极点的充要条件是：z → z0

lim ( z z0 ) m f ( z )= c m存在且不为零

复变函数课件

z 例5.1 判定 f ( z ) = 2 的孤立奇点的类型 ( z 1)( z 2)

解：显然 z1 = 1, z 2 = 2 为f(z)的孤立奇点， 当 z → 1or 2 时 f (z ) → ∞ ,即都为极点， 又 lim( z 1) f ( z ) = limz →1

z = 1 ≠ 0, lim( z 2) 2 f ( z ) = 2 ≠ 0 z →1 ( z 2) 2 z →2

所以 z1 = 1为f(z)的一阶极点 , z 2 = 2 为f(z)的二阶极点 。

若z0为f (z)的本性奇点 的本性奇点

f ( z )的洛朗级数有无穷多项 负幂次项 lim f ( z )不存在，也不为 ∞z → z0

复变函数课件

4. 零点与极点的关系零点：若f(z)在z0的邻域内解析且f(z0)=0,则z0为f(z) 零点 的零点。此时设f(z)在该邻域内的泰勒展式为

f ( z ) = ∑ cn ( z z 0 ) nn =0

∞

(c0 = 0)

那么 1)当 c n = 0 , n = 1, 2 , 3 ,..., f ( z ) ≡ 0 ((2)当c1 , c2 , cn 不全为零时，总有cm ≠ 0, 而cn = 0(n < m), 则称z 0是f(z)的m阶零点，当m = 1称为简单零点。

复变函数课件

定理5.2 不恒等于0的解析函数 (z)以 z0为f (z) 的 定理 不恒等于 的解析函数f 以 的解析函数 m 阶零点的充要条件为f ( z ) = ( z z0 ) ( z )m

其中： 其中： ( z 0 ) ≠ 0, ( z )在 z 0点解析 , m ∈ Nz = 0与 z = 1分别是 f ( z ) = z ( z 1) 3的一阶 例如： 例如： 与三阶零点。推论：f(z)在z0 处解析,则z0为m阶零点的充要条件是：f ( n ) ( z0 ) = 0(n = 0,1,2, , m 1) f ( m ) ( z 0 ) ≠ 0.

复变函数课件

的零点。 例如 z = 0与 z = 1均为 f ( z ) = z ( z 1) 的零点。3

又 f ' ( z ) = ( z 1) 3 + 3 z ( z 1) 2

f " ( z ) = 6( z 1) + 6 z ( z 1)2

f ' ' ' ( z ) = 12( z 1) + 6( z 1) + 6 z∵ f ' ( 0 ) = ( 1) 3 ≠ 0 ∴ z = 0为一阶零点

∵ f ' (1) = 0

…… 此处隐藏：3068字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……