无穷积分的性质(北工大)
发布时间：2021-06-08
一.无穷积分与级数
a
f ( x )dx, a
b
f ( x )dx,
f ( x )dx.
b f ( x )dx, f ( x )dx 的敛散性都可归结为
形如
f ( x )dx
的无穷积分. a
dx x
1 n 1 n
1 1
收敛 发散
收敛 发散
定理1 无穷积分 a
f ( x )dx 收敛
对任意数列 An , n N , 有 An [a , ),lim 而 A1 a, n An ,k 1
级数
Ak 1 Ak
f ( x )dx
收敛于同一数，且
a
f ( x )dx k 1
Ak 1 Ak
f ( x )dx.
证明
必要性 已知无穷积分收敛，即
a
f ( x )dx lim n Ak 1 Ak
An 1 n a
f ( x )dx Ak 1 Ak
lim n k 1
f ( x )dx k 1
f ( x )dx.
充分性 已知对任意数列 An , 而 A1 a ,n
lim An
时， 级数 k 1
Ak 1 Ak
f ( x )dx
收敛
于同一个数， 即它的部分和数列 n Ak 1 A f ( x )dx k 1 k
或
An 1
a
f ( x )dx
收敛于同一个数。由海涅极限定理，无穷 积分 a
f ( x )dx 收敛， 且An 1 n a
a
f ( x )dx lim
f ( x )dx
k 1p a
Ak 1 Ak
f ( x )dx. a
令 F ( p) f ( x )dx, 证明 lim 已证 n F ( An 1 ) lim An 1 n a
f ( x )dx
收敛, 即证极限 plim F ( p) 存在. f ( x )dx 收敛.
二、无穷积分的性质定理2(柯西收敛准则)
无穷积分
f ( x )dx 收敛
a
0, A a, p1 A 与 p2 A,有
p2 p1
f ( x )dx . a
推论1 若无穷积分 lim p p
f ( x )dx 收敛，则
f ( x )dx 0.
推论2
若无穷积分
a
f ( x )dx 收敛，
则无穷积分
a
f ( x )dx 也收敛。 a
推论3 无穷积分
f ( x )dx 收敛， b
b a , 无穷积分 无穷积分的运算定理 定理3 若无穷积分 积分
f ( x )dx 也收敛。
a
f ( x )dx 收敛,则无穷
cf ( x )dx 也收敛,其中 a
c
是常数,
且 定理4
cf ( x )dx a
c
a
f ( x )dx. g( x )dx a
若无穷积分
a
f ( x )dx 与
都收敛，则无穷积分
a
[ f ( x ) g( x )]dx
a
f ( x )dx
a
g( x )dx.
定理5 (无穷积分的分步积分公式)若函数f(x)与g(x)在区间 a , 存在 连续导数，极限 xlim f ( x ) g( x ) 存在，且 无穷积分
f ( x) g( x)dx' a '
a
收敛， 则
无穷积分
f ( x ) g ( x )dx 也收敛，有 a a
a
f ( x )dg( x ) f ( x ) g( x )
f ' ( x ) g( x )dx.
定理6 (无穷积分的换元公
式) 若函数f(x)在区间 a , 连续，无穷积分
a
f ( x )dx 收敛，且函数 x (t )
在 , 严格增加，存在连续导数，而
( ) a , ( 0) , 则
a
f ( x )dx f [ ( t )] ' ( t )dt .
例1 求无穷积分 K 解 由定理5 ,有K x e 0 x
x e 0
sin xdx.
sin xdx 0
x e d ( cos x ) 0
e
cos x
0
e
x
cos xdx
x 1 0 e d (sin x ) x x 1 (e sin x 0 e 0
sin xdx)
1 K.
有 2K 1 或K 0
1 K , 2
,即
e
x
1 sin xdx . 2
例2 求无穷积分 K 2 例3 判断无穷积分 1
1 1 sin dx . 2 x x
sin x dx 的是否收敛. 2 1 x
练习 1 求下列积分.1 1
(1)
xe dx;
x
( 2)
0
dx e
, x
1 ( 3) arctan xdx; 3 x 1 (4) 2 ln xdx. 3 x
三、无穷积分的敛散性判别法定理7 设 x a , , 有 a
f ( x ) c ( x ),
c是正常数。 1.若无穷积分 ( x )dx 收敛，则无穷积分 a
f ( x )dx 也收敛; a
2.若无穷积分 a
f ( x )dx 发散，则无穷积分
( x )dx 也发散.
证明 1)根据定理2, 0, A a, P1 A与P2 A, 有
aP2 P1
P2
P1
( x )dx .P2
由不等式 f ( x ) c ( x ), 有f ( x ) dx C ( x )dx C ,P1
即无穷积分
a
f ( x )dx 收敛. 则无穷积分
f ( x )dx 也收敛.
2)用反证法，根据1)可以得到矛盾。
例4 判别无穷积分
e
x2 0
dx 的敛散性.
上一篇：优秀党支部书记申报材料
下一篇：日本设计师原研哉作品赏析
