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南开大学2005硕士研究生入学考试试题 考试科目：高等代数

注：本解答所需知识均参照高教社出版的由北大代数小组主编由王萼芳、石生明修订的《高等代数》！

一、计算下列行列式

11

L

1

x1+1x2+1L

xn+1x21+x1

x22+x2

L

x2n+xn

=?,n≥2 L

L

LL

xn 1xn 21+1

xn 1 22+xn2

Lxn 1+xn 2

nn

解：

由行列式性质，

11L11x1+1

x2+1Lxn+1x1

x21+x1

x22+x2

L

x2n+xn

=

x2

1+x1

LL

LL

Lxn 1n 21+x1

xn 1+xn 22Lxn 1n+xn 2

2nxn 1+xn 211

11L11

1L1+

x21+x1

x22+x2

Lx2n+xn

L

L

L

L

xn 1n 21+x1

xn 1 22+xn2Lxn 1 2

n+xnn

显然，第二式为0，连续运用此性质得

11

L

111x1+1x2+1L

xn+1x1x2

x2

1

+x1x22+x2Lx2n+xn

=x2

1x22

LLLL

LLxn 1n 2

xn 1 21

+x12+xn2

Lxn 1n+xn 2

n 1n

x1xn 12二、设齐次线形方程组

x2+ax3+bx4=0

x1+cx3+dx4

=0 ex ax1+cx24=0 bx1+dx2 ex3=0

的一般解以x3,x4为自由未知量 （1） 求 a,b,c,d,e满足的条件

（2） 求齐次线形方程组的基础解系 解：

1L1x2Lxnx22+x2

Lx2n+xn

L

L

L

xn 1+xn 2Lxn 1+xn 2

22nn

1xnx2n=

L

1≤∏(a

i

aj)

j<i≤n

xn 1n

L

LL

LL