二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应

上海交通大学

硕士学位论文

二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应

姓名：林琦

申请学位级别：硕士

专业：理论物理

指导教师：雷啸霖

20060201

二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应

摘要

30多年前被提出的“自旋霍尔效应”在很长一段时间里都默默无闻。随着近两年在三维价带模型及二维自旋轨道耦合电子系统模型分别发现了“固有”自旋霍尔效应，这一领域开始活跃起来。而且由于现在讨论的自旋轨道耦合并非依赖于杂质散射，而是由系统本身的结构特征所决定，外部只需加一个电场就可以产生自旋极化的“电流”，这就为自旋注入提供了一种简便的方法，也会对量子计算、量子存储和量子信息的发展产生积极影响。在这篇论文里，我们探讨了二维自旋轨道耦合电子系统的自旋霍尔效应。首先我们介绍了Rashba和Dresselhaus自旋轨道耦合作用产生的原因，并用最基本的方法求解了它们的本征值与本征态，我们看到由于自旋轨道耦合作用项与动量成线性关系，使得色散关系曲线分裂成两支，这是能产生固有自旋霍尔效应的基础；其次我们介绍了在二维无杂质Rashba自旋轨道耦合系统中的固有自旋霍尔效应，我们看到在外加直流电场的作用下，可以产生自旋霍尔电流，而且自旋霍尔电导是一个常数，如果两支能级分支都被电子占据，这个值与电子密度无关，与自旋轨道耦合强度也无关；接着我们介绍了杂质对固有自旋霍尔的影响，我们用非平衡格林函数方法计算发现无论杂质散射是远程还是短程，它都会使自旋霍尔效应消失；最后我们介绍了平面内磁场对一个有直流电场作用的二维耗散自旋轨道耦合电子系统自旋霍尔效应的影响，同样使用非平衡格林函数方法，我们发现磁场会诱导出自旋霍尔电流，而且自旋霍尔电导不但与磁场的大小、方向有关，还与散射势的形式有关。

关键词：自旋轨道耦合作用，自旋霍尔效应，杂质散射，平面内磁场

二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应

ABSTRACT

“SpinHalle ect”hasbeenpredicted30yearsago.Andithadnotattractedmuchattentionforalongtime.Butnowadaysitisactiveinthis eldsincethe ndingoftheintrinsicspinHalle ectina3Dvalencebandmodelanda2Dspin-orbitcouplingelectronsystemmodel.Inthemodelsthespin-orbitcouplingreliesonthestructureofthesystemratherthanontheimpurityscattering.Aspinpolarizationcurrentcanbeinducedwhenapplyingadcelectric eldonsuchasystem.Soitprovidesane ectivewaytoinjectthespinanda ectsthedevelopmentofthequantumcomputationactively.Inthethesis,wediscussthespinHalle ectina2Dspin-orbitcouplingelectronsystem.Firstly,wediscusstheoriginationoftheRashbaandDresselhausspin-orbitcoupling,andcalculatetheireigenenergiesandeigenstates.We ndthedispersionrelationcurvesplitintotwobranchessincethelinearityofthespin-orbitcoupling.It’sthebasisthattheintrinsicspinHalle ectexists.Secondly,wediscusstheintrinsicspinHalle ectina2D“clean”Rashbaspin-orbitelectronsystem.We ndthespinHallcurrentcanbeinducedbyapplyinganexternaldcelectric eld,andthespinHallconductivityisanuniversalvaluewhentwobrancheshavebeenoccupiedbyelectrons.Thirdly,wediscussthein uenceoftheimpurityscatteringontheintrinsicspinHalle ect.We ndthetotalspin-Hallconductivitywillvanishwhatevertheelectron-impurityscatteringisremote-rangeorshort-range.Finally,wediscussthespinHalle ectofadi usive2Dspin-orbitcouplingelectronsystemsubjectedtoadcelectric eldwhenapplyinganin-planemagnetic eldonit.We ndthismagnetic eldcaninduceanetspinHallcurrent,anditreliesnotonlyonthemagnitudeanddirectionofthemagnetic eld,butalsostronglyontheformofthescatteringpotential.

KEYWORDS:Spin-orbitcoupling,SpinHalle ect,Impurityscattering,In-planemagnetic eld

二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应

插图

7

10

14

29

33

342.1Rashba自旋轨道耦合系统的色散关系示意图。...........2.2R-D自旋轨道耦合系统的k 关系示意图。...........3.15.15.25.3x方向电场作用下的Rashba自旋轨道耦合系统示意图。.....平面内磁场作用下的耗散自旋轨道耦合系统示意图。.......远程势下自旋霍尔电导与平面内磁场的关系曲线。........短程势下自旋霍尔电导与平面内磁场的关系曲线。........

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二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应

第一章引言

自从上个世纪六十年代半导体晶体管发明之后，使用电子来进行逻辑计算的微处理器上器件集成度越来越高，单位体积里容纳的晶体管数越来越多，然而随着晶体管尺寸的日渐缩小，量子效应开始变得重要起来，传统电子学将遇上不少问题，例如由于隧穿效应，电子将透过绝缘体产生电流泄漏；晶体管器件的开关过程带来的大量热耗散等。人们普遍认为以传统电子学为基础的硅工业技术将开始接近其极限。因此寻找能替代传统电子学的技术已成为许多公司、研究机构的重要课题。到目前为止，已经提出了大量的替代方案，例如分子电子学、生物电子学、高分子电子学、自旋电子学等。在这些方案中，利用电子自旋来取代电荷作为信息载体的自旋电子学由于其器件具有快速、低能耗等优越性能而倍受关注[1–7]。

自旋电子学是研究固体中电子自旋及在器件设计中使用自旋自由度来取代电荷自由度的学科[2,3,6,7]。在传统电子学中，信息处理完全依赖于电子的电荷自由度，电子的自旋自由度并没有起多少作用，但其实在信息存储方面，电子的磁性（即自旋）从一开始就扮演了重要的角色，例如计算机硬盘利用了巨磁阻效应[8–13]后，单位面积的数据存储量就迅速提高，大大推动了该产业的升级换代。但是目前这些与信息存储有关的自旋电子学器件的关键材料是铁磁合金，那么是否能利用半导体材料来制造自旋电子学器件呢？因为半导体拥有极其成熟的集成制造技术，材料本身也拥有优异的电学及光学性质，如果能有效利用半导体材料中的自旋自由度，做成器件将是一件十分有意义的事。在这一方面许多人提出了不同的设计方案[14–16]。如果进一步能将这些器件集成化，将有可能实现把逻辑计算、存储和通信等功能集成在一块芯片上的新型多功能器件。

要做成半导体自旋电子学器件，首先要产生自旋极化的电流，或者说要把自旋极化的电流注入半导体材料，当然之后还需要考虑自旋的退相干过程，即自旋极化的电流在半导体材料中能维持多久，在这里我们只考虑前一个问题。产生自旋极化电流使用较多的有两种方法，一种是使用圆偏振的激光在本来没有自旋极化的半导体中激发起自旋不均衡的载流子，但是由于在实际的半导体器件中无法集成大功率激光器，因此虽然光激发方法产生自旋极化载流子在研究自旋现象时是一个好办法，但在器件设计中并不适用；另外一种方法就是用电的方法把已经自旋极化的载流子从一种材料（例如铁磁金属、磁性半导体、

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半金属）注入到半导体材料中，主要有欧姆注入、隧穿注入、弹道注入、热电注入等方法，但是注入过程不可避免的存在不同材料的相互接触，导致注入效率不理想[17–19]。那么有没有可能通过其他的途径使半导体材料自身产生自旋极化的电流呢？答案是这种可能性是存在的。

我们知道电流通过半导体可以在材料的横向边界处产生自旋极化，即相反的边界存在相反自旋取向的载流子，这一现象通常被称为“自旋霍尔效应”，它在30多年前就被预言了[20]。这种效应来源于电子的动量与自旋的耦合，在“自旋霍尔效应”中可以考虑两种作用机制：“外部”作用机制使得电子在被杂质散射（通过Mott非对称散射通道[20–22]）过程中，电子的自旋与动量相互耦合，使得具有不同自旋取向的电子被散射到系统相反的边界处；与“外部”作用机制不同，“内部”作用机制来自于系统的自旋分裂能级结构[23,24]，而不是杂质的散射。

“内部”作用机制在近两年受到了大家的极大关注，在此期间有两种系统哈密顿量被考虑过：一种是三维的价带系统[24]，一种是存在自旋轨道耦合作用的二维电子系统[23]。可能是后者比较简单，它引起了大家更大的关注。在这种二维自旋轨道耦合电子系统中，对于由“内部”机制引起的自旋霍尔效应，大家进行了热烈而广泛的探讨。原因在于如果在直流电场作用下，可以不借助于杂质的散射就能产生自旋极化的“电流”，将会为半导体自旋电子学器件设计中的自旋注入提供一种新的方法，也会为量子计算、量子存储和量子信息的发展提供一个新的方向。然而在这一领域还有许多问题不很清楚，需要进一步探讨，下面我们简要介绍一下这一领域的发展。

2004年在参考文献[23]中，论文的作者预言了在二维Rashba自旋轨道耦合电子系统中，由“内部”作用机制引起的固有自旋霍尔电导是一个常数，它的值

zJeyzσy=(1.1)=Ex8π

它与自旋轨道耦合作用的强度无关。这一结果一经发表立刻引起了大家的广泛为：兴趣。而且有一个问题马上被提了出来：如果考虑杂质，那么杂质散射将如何影响这个自旋霍尔效应呢？因为参考文献[23]的作者在推导表达式(1.1)的过程中并没有考虑杂质的散射，并且处理的体系又假设是稳态系统。但是如果没有杂质散射对电子动量的弛豫，稳态系统这个假设在一个无限大系统中是不成立的。

不久，出现了众多探讨杂质散射对固有自旋霍尔效应影响的文章。最初，大家各持己见，有的研究认为杂质浓度不是很高时，固有自旋霍尔电导十分接近

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于所预言的常数[25,26]；另外的研究表明即使杂质散射很弱，固有自旋霍尔电导值也会消失[27]。到了现在，大家对杂质影响的问题已经基本达成了共识，即在这种二维电子系统中，由于自旋轨道耦合作用与动量成线性关系，因此无论散射势是什么形式，杂质浓度是大是小，直流电场诱导出的自旋霍尔电流都将消失[28]。较早的数值模拟结果[29,30]与这一结论相矛盾，而近期的一篇文章[31]对这一结论提供了支持。而这些在二维Rashba自旋轨道耦合电子系统得到的结论可以直接应用到二维Dresselhaus自旋轨道耦合电子系统（只考虑动量线性项的Dresselhaus自旋轨道耦合作用），因为这两种自旋轨道耦合作用可以通过自旋空间的一个幺正变换相互联系。

关于“内部”作用机制所引起的自旋霍尔效应也受到了实验物理学家的重视，有两个研究小组分别宣称在n型半导体中[32,33]和二维空穴系统中[34]观测到了这种自旋霍尔效应。

此外，由于二维自旋轨道耦合电子系统中的固有自旋霍尔效应的消失是由于自旋轨道耦合作用与动量成线性关系而导致的，所以近来已经有文章[35,36]开始探讨自旋轨道耦合作用非线性项的影响，得到了非零的自旋霍尔电导值；也有研究[37]探讨了二维自旋轨道耦合空穴系统，亦得到了非零的结果，并进一步探讨了不同形式的散射势对固有自旋霍尔电导的影响。另一方面，即使仍然只考虑自旋轨道耦合作用的线性项，如果系统加上一个磁场，这个磁场也会对固有自旋霍尔效应产生影响[38]，那么它是否会对有杂质散射的自旋轨道耦合系统的自旋霍尔效应产生影响，也是一个值得探讨的问题。

在这篇论文中，我们对章节作如下的安排：第二章介绍了Rashba和Dresselhaus自旋轨道耦合作用；第三章介绍了无杂质自旋轨道耦合系统中的固有自旋霍尔效应；第四章介绍了杂质对固有自旋霍尔效应的影响；第五章介绍了平面内磁场对自旋霍尔效应的影响；第六章给出结论。

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第二章自旋–轨道耦合相互作用

在这一章里，我们将介绍两种在二维半导体系统中重要的自旋轨道耦合机制：Rashba耦合与Dresselhaus耦合，它们对自旋流（自旋霍尔效应）的产生至关重要。在这里我们将给出它们的本征值、本征态和色散关系曲线。

2.1Rashba与Dresselhaus自旋轨道耦合作用

我们知道III-V族半导体的能带结构已经被很好的研究过了[39]。这种材料的能带结构其价带顶和导带底都是位于Brillouin区的中心（Γ点）上。在不考虑自旋的时候，III-V族半导体的导带电子是非简并的，其波函数为S型，表象为Γ1，在考虑了自旋作用之后，导带分裂为两个表象为Γ7的子带，总角动量s=1

1111在z轴上的投影是量子化的sz=±，相应的波函数为|1 和| 。在没有考虑自旋轨道耦合时表象为Γ15的价带空穴是三重简并的，波函数为P型，分别为X,Y,Z。考虑自旋轨道耦合作用之后，Γ15带分裂为两个Γ8子带和一个

3Γ6子带。其中两个Γ8子带的总角动量为J=，根据其总角动量在z轴方向上

1的分量不同而分为重空穴带（Jz=±3）和轻空穴带（J=±）。Γ6子带通常被z11称为自旋劈裂价带，其总角动量为J=，z轴上的分量为±。

对于III-V族半导体，导带Γ7和价带Γ8、Γ6上在k=0附近的能谱可以统一采用两能级模型[40,41]来处理。应用微扰论在考虑了价带和导带之间的相互作用后，可以得到导带电子的哈密顿量：

p23DHc=+HSO2m

其中的三维自旋轨道耦合作用具有如下形式[42,43]：

3DHSO=β0K(p)·σ+α0ε·(p×σ)(2.1)(2.2)

这里的σµ(µ=x,y,z)是电子自旋的泡利矩阵，p是载流子的动量，而

Kµ(p)=pνpµpν µ,ν,δ

ν,δ(2.3)

在公式(2.2)中，第一项是Dresselhaus自旋轨道耦合作用项，它起源于体材料的反演对称破缺[43]；第二项是Rashba自旋轨道耦合作用项，它来源于结构

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的反演对称破缺[42]。这两项都会影响电子的自旋，其作用相当于一个大小和方向都与波矢k有关的局域磁场。而有效电场ε是由加在系统上的外部电压导致的不对称性引起的，即我们可以通过外部门电压去控制Rashba耦合项的强弱。

当我们处理二维体系（比如量子阱系统）时，在一定条件下，可以通过忽略掉弱的带际混合，并只保留动量p的x,y分量的线性贡献，将三维的自旋轨道耦合作用退化到二维的形式：

2DHSO=HR+HD

αHR=(σxpy σypx) βHD=(σypy σxpx) (2.4a)(2.4b)(2.4c)

其中α=α0 εz ，β=β0 p2z ， ... 表示在二维体系最低的能带上求平均。通常像GaAs材料这样的量子阱，Rashba与Dresselhaus耦合作用的强度有相同的量级；而像InAs这样的窄带隙半导体材料，Rashba耦合作用占主导地位[44–46]。

同时我们在讨论二维GaAs量子阱系统时，由于量子阱的约束，电子在z方向上的运动是量子化的，具有分立的本征函数和本征能量。我们进一步假设不同子带之间的能级间距足够大，使得只有最低子带上有电子占据，并且不同子带之间的跃迁可以忽略不计，在此情形下我们只需要考虑自旋轨道耦合对最低子带的影响，在以下各章节的讨论中，我们都承认这个假设。

2.2二维Rashba自旋轨道耦合系统的本征值与本征态

在二维Rashba自旋轨道耦合电子系统中，单电子的哈密顿量具有如下形式[42]：

=H 0+H RH

2pα )z=+( σ×p2m

2αp+( σxp y σ yp x)=2m (2.5)

是二维电子的动量算符，σ 是泡利矩阵算符，α是其中m是电子有效质量，p

Rashba耦合系数，它可以通过一个垂直于二维电子系统平面的外部门电压进行强度调节。

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为数值，在动量表象中，算符p我们把哈密顿量(2.5)式写成二维矩阵形式：

210010 ipαH=+py px2m01 10i0

=p2

α

α (py+ipx)p2(py ipx)(2.6)

求解(2.6)式的久期方程，可以得到该哈密顿量的本征值：

2pα E(py+ipx)=0detαp2(py ipx) E化简可得：

2 p2α222 E=(p+pyx)2m 2

α22=p2 (2.7)(2.8)

本征值为：p2αE±=±p2m

它的色散关系曲线如图(2.1)所示。

接下来我们求哈密顿量(2.5)的本征矢量，该本征矢量具有如下形式：

ξeik·r

η

当E=E =p2

2m(2.9) α

p时，

2ξξpαik·rik·rHe= pe2m ηη(2.10)

即α(σxpy σypx) η

写为矩阵形式：

α

ξ ξα= p η ξα= p η(2.11)0(py ipx)α (py+ipx)ξ

0η(2.12)

二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应

图2.1Rashba自旋轨道耦合系统的色散关系示意图。

Fig2.1Dispersionrelationsketchforthe2DRashbaSOcouplingsystem.

可以得到， α

α

(py+ipx)η= αpξ(py ipx)ξ= αpη我们令ξ=1，那么η= (py ipx)/p，再根据归一化条件|ξ|2+|η|2=1，则本征值E 的本征矢量为：

ψk 1= 1ipx py

peik·r(2.13)

同样，我们可以得到本征值E+的本征矢量为：

11ψk+=eik·r

py ipxp(2.14)

所以，包含Rashba耦合项的单电子的本征值和本征矢量分为两支，它们为：1ψkλ(r)= 1ky ikx

λeik·r(2.15)(2.16) 2k2

Eλ(k)=+λαk2m

其中λ=±1。

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2.3二维Dresselhaus自旋轨道耦合系统的本征值与本征态

在二维Dresselhaus自旋轨道耦合电子系统中，单电子的哈密顿量具有如下形式[43,47,48]：

=H 0+H DH

2pβ=+( pyσ y p xσ x)2m

Dresselhaus耦合系数，它由半导体材料的性质决定。

与求解Rashba自旋轨道耦合系统时一样，在动量表象中，把哈密顿量H

写成矩阵形式：

100 i01βp+py pxH=2m01 10i02(2.17) 是二维电子的动量算符，σ 是泡利矩阵算符，β是其中m是电子有效质量，p

=p2

β

(px+ipy)

p2

β

(px ipy)(2.18)

求解(2.18)的久期方程，可以得到含有Dresselhaus项的单电子的哈密顿量的本征能量：

det

即 p22m E β (px+ipy)p22m β (px ipy) E=0(2.19)βp2

±p(2.20)E±=2m

可以看到，Dresselhaus自旋轨道耦合与Rashba耦合具有相同的色散关系曲线，它们具有等价性。

接下来我们求哈密顿量(2.17)的本征矢量，它具有与Rashba耦合本征矢量相同的形式。我们取E =p2

β

p为例， ξ ξβ= p η

ξβ= p ηβ(σypy σxpx) η即 (2.21)0(px ipy) β (px+ipy)ξ

β

0η(2.22)

二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应

矩阵元素对应相等，得：

β

β

(px+ipy)η=(px ipy)ξ=ββ

pξpη

同样，我们令ξ=1，则η=(px ipy)/p，再根据归一化条件，我们得到对应本征能量E 的本征矢量为：

1ψk = 1px ipy

peik·r(2.23)

同理，我们可以得到对应本征能量E+的本征矢量为：

11ik·reψk+=ipy px

p(2.24)

因此，与Rashba耦合类似，包含Dresselhaus耦合项的单电子的本征值和本征矢量也分为两支，它们为：

1ψkλ(r)= 1kx iky

k λeik·r(2.25)

(2.26) 2k2

+λβkEλ(k)=2m

其中λ=±1。

2.4Rashba-Dresselhaus自旋轨道耦合系统

现在，我们将Rashba耦合与Dresselhaus耦合一并考虑进来，这时二维电子系统的单电子哈密顿量可以写作：

=H 0+H R+H DH

2pαβ=+( σxp y σ yp x)+( σyp y σ xp x)2m

R-D自旋轨道耦合系统的本征能量表达式为：

2k2

E±(k)=±(αky+βkx)2+(αkx+βky)22m

2k2 2=±(α+β2)+2αβsin2 k2m(2.27)通过与求解Rashba或Dresselhaus耦合系统本征值相同的方法，我们得到(2.28)

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图2.2R-D自旋轨道耦合系统的k 关系示意图。

Fig2.2k relationsketchfortheR-DSOcouplingsystem.

其中， 为波矢k=k(cos ,sin )与kx轴的夹角。

R-D自旋轨道耦合系统的本征矢量为：

11ik·rψk,±(r)=e±eiχ(k)

其中

χ(k)=arg[ αky βkx+i(αkx+βky)](2.30)(2.29)

接下来我们取本征能量E=Ef，并反解方程(2.28)，可以得到费米波矢模kf的表达式：

fk±= m 22[α2+β2+2αβsin2 ]

+2mEf+ 2m 22[α2+β2+2αβsin2 ](2.31)

这里的±号与色散关系曲线的两条分支相关。而费米波矢则可以写作：

ffk±=k±(cos ,sin )(2.32)

二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应

从(2.31)式我们可以看到，费米波矢模不但与Ef有关，还与 角有关，这种角度依赖关系如图(2.2)所示。

通过(2.31)式我们还可以得到电子密度n与费米能量Ef的关系式，我们只考虑绝对零度时的情形：

n= θ(Ef E)

µ=±,k

1 2 πkfµ

=(2π2kdkd

µ=±)00

= 1 2π

d 1[kfµ(Ef, )]2

µ=±(2π)202

将(2.31)代入上式，平方的交叉乘积项抵消，就可以得到[49]：

2

n=12m

2π 2Ef+2m

2(α2+β2)

方程(2.31)、(2.34)将在后面的计算中用到。(2.33)(2.34)

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第三章二维无杂质自旋轨道耦合系统的自旋霍尔效应在这一章里，我们将介绍二维无杂质Rashba自旋轨道耦合系统的自旋霍尔效应。最开始先介绍无外部电场时，自旋轨道耦合系统的自旋极化情况；再介绍当外加一个x方向电场时，系统的自旋极化情况；最后计算得到固有自旋霍尔电导。

3.1无电场Rashba自旋轨道耦合系统的自旋极化

我们先看一下没有在二维平面内加电场时，Rashba自旋轨道耦合系统自旋极化的情况。

在动量表象里，二维Rashba自旋轨道耦合电子系统的单电子哈密顿量写作[42]：

H0 2k2= α(ez×k)·σ2m

2k2

= αk(σycosθ σxsinθ)2m(3.1)

其中ez是垂直于二维平面的单位矢量，k=k(cosθ,sinθ)是电子动量，σ=(σx,σy,σz)是泡利矩阵，而α是Rashba自旋轨道耦合系数。

哈密顿量(3.1)的本征能量写作：

Ek,λ 2k2= λαk2m(3.2)

其中λ=±1，而相应的本征矢量为：

iθ1iλe|kλ =1(3.3)

其中

tanθ=ky

kx

单电子自旋在本征态|kλ 下的平均值写作：

(0)Sλ(k) kλ|σ|kλ =2

(0)(0)=Sλ,x(k)ex+Sλ,y(k)ey(3.4)

二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应

(0)(0)其中ex和ey是平面内x与y方向的单位矢量，而Sλ,x(k)与Sλ,y(k)是自旋的

x与y方向的分量，它们可以通过以下的推导得到：

Sλ,x(k)=(0) kλ|σx|kλ 2 iθ01iλe 1= iλeiθ122101 iθiλe iθ=1 iλe41

( iλeiθ+iλe iθ)4 = iλ×2isinθ4 =λsinθ2 ky=λ2k=(3.5)

Sλ,y(k)=(0) kλ|σy|kλ 2 iθ0 iiλe 1= iλeiθ122i01 iθiλe iθ=i λe41

( λe iθ λeiθ)4 = λ×2cosθ4 = λcosθ2 kx= λ2k=向与动量k有关。(3.6)这些方程显示哈密顿量(3.1)的本征态在平面内是自旋极化的，而且自旋极化方