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正弦函数余弦函数的图象和性质

潘老师课件

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正弦函数余弦函数的图象和性质(一 正弦函数余弦函数的图象和性质 一)

复习回顾 思考导学 学习新课 课时小结0

y

x

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1.

sin a, cosa, tan a 的几何意义是什么?yT

1

PA

正弦线MP

o

M

1

x

余弦线OM

正切线AT

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y = x2 2x的图象 2.如何用描点法作出函数 如何用描点法作出函数 图象? 如何用(1)列表 列表

1 0 1 2 y = x 2 2x 3 0 1 0

x

3 31 2 1 0

y

(2) 描点

.

1

(3)连线 连线

.

2

.

x返回

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1.能否用描点法作函数 y =sin x, x∈[0 2 ]的图象 能否用描点法作函数 能否用 , π 图象?只要能够确定该图象上的点 (x,sin x) 的坐标，就可以 用描点法作出函数图象。而该图象上点的坐标可通过 x 的值查三角函数表得到。

2.能否不通过查表得到点(x,sin x)的坐标 能否不通过查表得到点 的坐标?n 点 可以利用与单位圆有关的三角函数线，如： ( 3 ,siPπ3π

π

) 3

1

yπ3π2

o

M

0 1

π

3π 2

2π

x

返回

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π 图象的几何作法: 1.函数 y =sin x, x∈[0,2 ]图象的几何作法 函数既然作与单位圆有关的三角函数线可得相应的角的 三角函数值,那么通过描点(x,sin x),连线即可得到函数 y =sin x, x∈ 0,2 的图象.作法演示: π

[

]

y1_

o1

A

o-1_

π π π6 3 2

2π 5π 3 6

π

7π 6

π 4π 3π 5π 11 3 2 3 6

2π

x

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2.函数 y =sin x, x∈R的图象 函数 的图象:

y =sin x, x∈[2kπ,2(k +1)π], k ∈Z且 ≠ 0 的图象，与函 k 数 y =sin x, x∈[0 2 ] 的图象形状完全相同，只是位置不 ,π 同。只要通过平移 y =sin x, x∈[0,2 ] 的图象就可以得到 π 函数 y = sin x, x∈R 的图象。y1 4π_

因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数

3π

2π

π

o_

π

2π

3π

4π

x

-1

正弦曲线

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3.函数 y = cos x, x∈R 的图象 函数 的图象:由诱导公式 y = cos x = sin x + (

π

( 余弦函数 y = cos x, x∈R与函数 y =sin x + ), x∈R是同一个函数。余弦函数的图象可通过将正弦曲线向左 平移

)可以看出： 2 π2

π

2

个单位长度而得到。

y1_

4π

3π

2π

π

o_

π

2π

3π

4π

x

-1

余弦曲线

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π π 4.函数 y =sin x, x∈[0,2 ]与 y =cos x, x∈[0,2 ]的图象 函数 上的关键点： 上的关键点：像作二次函数图象那样为了快速用描点法作出正弦 “五点作图法” 五点作图法” 五点作图法 曲线与余弦曲线。下面我们通过观察函数图象寻找图象 上起关键作用的点： 图象的最高点 (π , ) 2 13 2,

图象与x轴的交点(0,0)(π,0)(2π,0) y =sin x, x∈[0,2 ] π 图象的最低点( π 1 ) π ) π 图象与x轴的交点( 2 ,0 ( ,0) y =cos x, x∈[0,2 ] π 图象的最低点(π, 1)3 2

图象的最高点 01 (2π,1 ( ,) )

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例题讲解:

例.用“五点法”作

出函数=1+sin x, x∈ 0 2 y , π 的简图。 解:(1)按五个关键点列表: π 3π π 2π x 0 2 2

[

]

sin xsin x +1

0 1

12

0 1

1

0

0 1

(2)描点,连线

y 21 1π2

0

π

3π 2

2π

x

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巩固练习: 巩固练习

1.作函数

y = cos x, x∈[0,2 ]的简图。 π

, π 2.作函数 y = 2sin x+1 x∈[0,2 ] 的简图。

返回

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课时小结： 课时小结：1.正弦曲线： 1 4π_

y

3π

2π

π

o_

π

2π

3π

4π

x

-1 2.余弦曲线： 1 4π_

y

3π

2π

π

o_

π

2π

3π

4π

x

-1

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3.“五点作图法”:

yy =sin x, x∈[0,2 ] π

1 1

0y1

π2

π

3π 2

2π

x

y =cos x, x∈[0,2 ] π

1

0

π2

π

3π 2

2π

x

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y

1-

-

o-1 -

π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11 π 6

2π

x

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y

1-

o-1 -

π6

π

π2

3

2π 3

5 π 6

π

-

7π 6

4π 3

3 π 2

5 π 3

11 π 6

2 π

x

返回

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正弦函数、余弦函数的性质( ) 正弦函数、余弦函数的性质(2)1 1

0.5

0.5

1 -0.5

2

3

4

5

6 -0.5

1

2

3

4

5

6

-1

-1

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一、知识点回顾1、正余弦函数的定义域 2、正余弦函数的值域 3、练习(口答): 函数y = 3 sinx x ∈R 的值域和最值 函数 y = cos x 3 x ∈ R 的值域和最值

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性质3 性质3:周期性周期函数的定义： 对定义域内的任意的x的值，存在一个常数T≠0, 使得

f ( x + T ) = f ( x)

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周期性的图象理解1 0.5

-5

-2.5 -0.5

2.5

5

7.5

10

12.5

-1

1

0.5

-5

-2.5 -0.5

2.5

5

7.5

10

12.5

-1

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例题1 例题1、求下列函数的周期： 1:y=3cosx x ∈R 解：因为余弦函数的周期是2π,所 以自变量x只要并且至少需要增长到 x+2π,余弦函数的值才会重复取得， 函数y=3cosx的值才能重复取得， 所以T=2π。

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2、y=sin2x x ∈R解、令z=2x,那么 ∈R必须并且只需 ，那么x∈ 必须并且只需 z∈R,且函数 ∈ ,且函数y=sinz,z∈R的T=2π,即 ， ∈ 的 ， 变量z只要并且至少要增加到z+2π,函数 只要并且至少要增加到 变量 只要并且至少要增加到 ， y=sinz,z∈R的值才能重复取得，而 的值才能重复取得， , ∈ 的值才能重复取得 z+2π=2x+2π=2(x+π) z+2π=2x+2π=2(x+π) 只要并且至少要增加到 故变量x只要并且至少要增加到x+π, , 故变量 只要并且至少要增加到 函数值就能重复取得，所以y=sin2x, 函数值就能重复取得，所以 ， x∈R的T=π ∈ 的