校园景观道路设计-数学建模

时间：2025-02-28

陇东学院第二届大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了陇东学院数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属院系（请填写完整的全名）：数学与统计学院参赛队员 (打印并签名) ：1. 刘红蕊

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期： 2012 年 5 月 27 日

校园景观道路设计

摘要：本题是一个道路优化问题。着重对道路入口和园内交叉点的分析，选取更优道路。利用三角形外接圆圆心，确定园内的交叉点的个数，再利用所给数据和实际情况进行分析，去掉不必要的路段，选定景观园内的交叉点，由此获得园内更优道路图。

问题一回答：通过对道路的入口点以及园内道路的交叉点的数据分析，依据题目所给的要求，从而得出园内不必要存在的路段，为最终的优化提供依据。问题二回答：通过对道路入口构造三角形，确定其外接圆圆心，由此得到园内道路的交叉点，从图中绘出具体位置，再依照数据和实际情况进行更优道路的选取。

本文对模型的求解主要进行了数据分析和对实际情况的考虑，对园内交叉点的位置确定。

关键词：道路优化；数据分析；外接圆圆心；优化选取。

一、问题重述

我校计划在逸夫教学楼与信息楼之间建一个形状为矩形或其他不规则图形的校园文化景观中心，不仅为了美化校园环境，也是想为其学生提供更的生活条件。该中心计划有若干个入口，现在你需要建立一个模型去设计道路让任意两个入口相连（可以利用四周的边，即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路，此道路不计入道路总长），使总的道路长度和最小，前提要求是任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍。

主要设计对象可假设为如图所示的矩形校园文化景观中心，其相关数据为：长200米，宽100米，1至8各入口的坐标分别为：

P1(20,0),P2(50,0),P3(160,0),P4(200,50),

P5(120,100),P6(35,100),P7(10,100),P8(0,25)。

示意图见图1，其中图2即是一种满足要求的设计，但不是最优的。

图 1 公园及入口示意图

图 2 一种可能的道路设计图

现完成以下问题：

问题一：假定公园内确定要使用4个道路交叉点为：A(50,75)，B(40,40)，C(120,40)，D(115,70）。问如何设计道路可使公园内道路的总路程最短。建立模型并给出算法。画出道路设计，计算新修路的总路程。

问题二：现在公园内可以任意修建道路，如何在满足条件下使总路程最少。建立模型并给出算法。给出道路交叉点的坐标，画出道路设计，计算新修路的总路程。

注：以上问题中都要求公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口相通，而不能连到四周的其它点。

二、符号说明

O1：为三角形P3P4P5的外接圆圆心；