东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）

高三数学 （理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

（1）设集合A {x Rx 1 2}，集合{ 2, 1,0,1,2}，则A

B=

（A）{2} （B）{1,2} （C）{0,1,2} （D）{ 1,0,1,2} （2）在复平面内，复数

2

i3对应的点位于 1 i

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输 出的结果为0时，输入的x值为 （A）2或 2 （B） 1或 2

（C）1或 2 （D）2或 1

x y 1 0,

(4) 如果实数x，y满足条件 x y 1 0, 则z 2x y的最大值为

y 1 0,

（A） 3 （B） 1 （C）0 （D）1

（5）设Sn为等差数列 an 的前n项和，若a1 1，公差d 2，Sn 2 Sn 36，则n （A）5 （B）6

（C）7 （D）8

（6）6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为

（A）12 （B）18 （C）24 （D）36 （7）若直线 则a的值为

（A）1 或5 （B） 1 或5 （C）1 或 5 （D） 1 或 5

x 1 t, x 2 2cos

（t为参数）被圆 （ 为参数）

所截的弦长为 y 2 2sin y a t

b定义运算（8）对任意实数a，“⊙”：a

,b ,1 ba

设f(x) (x2 1)b

,1 a,a b

(4 x) k，

若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是

（A）( 2,1) （B）[0,1] （C）[ 2,0) （D）[ 2,1)

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）已知tan =2，那么cos2 ．

（10）已知平面向量a，b，若a

3，a b a b 6，则b ；向量a，b夹角的大小为 ．

（11）在区间[0,6]上随机取两个实数x，y,则事件“2x y 6”的概率为_________． （12）如图所示，PA与圆O相切于A，直线PO交圆O于B，C两点，AD BC，垂

足为D，且D是OC的中点，若PA 6，则PC ．

（13）若直线y k(x 1)(k 0)与抛物线y2 4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若BN 2AM，则k的值是 ．

P是正方体棱上一点（不包括棱的（14）在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，点

端点），PA PC1 m，

①若m 2，则满足条件的点P的个数为________；

P的个数为6，则m的取值范围是． ②若满足PA PC1 m的点

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）

2

已知函数f(x) sinxxsin(x ).

2

（Ⅰ）求f(

)的值； 12

（Ⅱ）当x [0,]时，求函数f(x)的最大值和最小值． （16）（本小题共13分）

“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10,20)，[20,30)，，[50,60)的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数；

（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50,60)年龄段抽取的人数；

（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在

2

[50,60)年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．

（17）（本小题共14分）

如图，四棱锥E ABCD中，平面EAD 平面ABCD,DC// AB,BC CD,

EA ED,且AB 4，BC CD EA ED 2.

（I）求证：BD 平面ADE；

（II）求BE和平面CDE所成角的正弦值；

（III）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF 平面CDE，请说明理由.

（18）（本小题共13分）

已知a 0，函数f(x)

ax

2a，g(x) alnx x a. x2 1

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）求证：对于任意的x1,x2 (0,e)，都有f(x1) g(x2). （19）（本小题共13分）

x2y2已知椭圆2 2 1的一个焦点为F

(2,0)

ab（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A,

B两点，P为直线x 3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程.

（20）（本小题共14分）

设a是一个自然数，f(a)是a的各位数字的平方和，定义数列{an}：a1是自然数，． an f(an 1)（n N*，n 2）

（Ⅰ）求f(99)，f(2014)；

（Ⅱ）若a1 100，求证：a1 a2；

（Ⅲ）当a1 1000时，求证：存在m N*，使得a3m a2m．

东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）

高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）A （3）C （4）D （5）D （6）C （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） （11）

3

（10）4

60 5

1

（12）

4

（13

）

（14）6

3

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

2解：

（Ⅰ）f(x) sinx xsin(x )

2

sinxxcosx

2

1 cos2x

2x

211

2x cos2x

22

sin(2x )

所以f(

x 0

y x2 1

61． 2

1

) ． 7分 122

（Ⅱ）当x [0,]时，

所以，当2x

2 5 2x ． 666

时，即x 0时，函数f(x)取得最小值0； 66

当2x

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）1 10 (0.020 0.025 0.015 0.005) 0.35，

3

时，即x 时，函数f(x)取得最大值． 13分 6232

0 10 0 .35，

即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为35． 4分 （Ⅱ）100 0.15 15，100 0.05 5，

所以5

8

2， 20

即抽取的8人中[50,60)年龄段抽取的人数为2． 7分

（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．

3C65

P(X 0) 3 ；

C81412C2C615

P(X 1) ； 3

C82821C2C3

P(X 2) 36 ．

C828

所以X的分布列为

3

X的数学期望为EX

0 1 2 ． 13分

1428284

（17）（共14分）

解：（I）由BC CD，BC CD 2.,

可得BD

由EA ED，且EA ED

2可得AD 又AB 4．

所以BD AD．

又平面EAD 平面ABCD， 平面ADE

平面ABCD AD，

BD 平面ABCD，

所以BD 平面ADE． ５分 （II）如图建立空间直角坐标系D xyz，

则D

(0,0,0)，B

，C(

，E，

BE

，DE

，DC (．

设n (x,y,z)是平面CDE的一个法向量，则n DE 0，n DC 0，

x z 0,即

x y 0.

令x 1，则n (1,1, 1)．

设直线BE与平面CDE所成的角为

，

则sin |cos BE,n |

|BE n|． 3|BE| |

n|． 1

０分 所以BE和平面CDE

（III）设

CF

CE， [0,1]．

DC (

，CE ，DB .

则DF DC CF DC CE 1, 1, )．

设m (x',y',z')是平面BEF一个法向量，则n EB 0，n EF 0， 即

y' 0,

(2 1)x' ( 1)y' z' 0.

2 1

令x' 1，则m (1,0,

)．

2 1

1

0， [0,1].

3

若平面BEF 平面CDE，则m n 0，即1

所以，在线段CE上存在一点F使得平面BEF 平面CDE. 14分

（18）（共13分）

a(1 x2)a(1 x)(1 x)

解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为R,f (x) 2， 222

(x 1)(x 1)

因为a 0，

所以，当x 1，或x 1时，f'(x) 0；

当 1 x 1时，f'(x) 0．

所以，f(x)的单调递增区间为( 1,1),单调递减区间为( , 1),(1, )．

6分

（Ⅱ）因为f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,e)上单调递减，

又f(0) 2a，f(e)

ea

2a 2a， e2 1

所以，当x (0,e)时，f(x) 2a． 由g(x) alnx x a，可得g'(x)

aa x

． 1

xx

所以当a e时，函数g(x)在区间(0,e)上是增函数， 所以，当x (0,e)时，g(x) g(e) 2a e 2a． 所以，当x (0,e)时，

对于任意的x1,x2 (0,e)，都有f(x1) 2a，g(x2) 2a，所以f(x1) g(x2)． 当0 a e时，函数g(x)在区间(0,a)上是增函数，在区间(a,e)上是减函数， 所以，当x (0,e)时，g(x) g(a) alna 2a． 所以，当x (0,e)时，

对于任意的x1,x2 (0,e)，都有f(x1) 2a，g(x2) 2a，所以f(x1) g(x2)． 综上，对于任意的x1,x2 (0,e)，都有f(x1) g(x2)． 13分

（19）（共13分） 解（Ⅰ）依题意有c

2，

c．

a

可得a2 6，b2 2．

x2y2

故椭圆方程为 1． ５分

62

（Ⅱ）直线l的方程为y k(x 2)．

y k(x 2),

联立方程组 x2y2

1. 2 6

消去y并整理得(3k2 1)x2 12k2x 12k2 6 0．

设A(x1,y1)，B(x2,y2)．

12k212k2 6

故x1 x2 ，x1x2 ． 22

3k 13k 1

则AB kx1 x2

2

(1 k2)[(x1 x2)2 4x1x2]

设AB的中点为M(x0,y0)．

6k22k

可得x0 2，y0 2．

3k 13k 1

直线MP的斜率为

1

，又 xP 3，

k

3(k2 1)

所以MP x0 xP ． 2

(3k 1)

当△ABP为正三角形时，MP

3

AB，

2

3(k2 1) 2(3k 1)解得k 1．

即直线l的方程为x y 2 0，或x y 2 0． 13分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）f(99) 92 92 162；

f(2014) 22 02 12 42 21． 5分 （Ⅱ）假设a1是一个n位数（n 3）， 那么可以设a1 bn 10n 1 bn 1 10n 2

b3 102 b2 10 b1，

其中0 bi 9且bi N（1 i n），且bn 0． 由a2 f(a1)可得，a2 bn2 bn 12

b32 b22 b12．

(102 b3)b3 (10 b2)b1 (1 b1)b1,

a1 a2 (10n 1 bn)bn (10n 2 bn 1)bn 1

所以a1 a2 (10n 1 bn)bn (b1 1)b1．

因为bn 0，所以(10n 1 bn)bn 99． 而(b1 1)b1 72，

所以a1 a2 0，即a1 a2． 9分

（Ⅲ）由a1 1000，即a1 999，可知a2 92 92 92 243．

同理an 999，可知an 1 92 92 92 243． 由数学归纳法知，对任意n N*，有an 999． 即对任意n N*，有an {1,2,3,

,999}．

因此，存在p,q N*（p q），有ap aq． 则ap 1 aq 1，ap 2 aq 2， ，aq 1 aq q p 1， 可得对任意n N*，n p，有an q p an． 设q p T，即对任意n p，有an T an． 若T p，取m T，n 2m，则有a3m a2m． 若T p，由an T an，可得an pT an，

取m pT，n 2m，则有a3m a2m． 14分