再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4

设

12

12

故所求解y e e

x

x e x

12

满

足

以

下

条

件

F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )

内

f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex

（1）求F(x)所满足的一阶微分方程 （2）求出F(x)的表达式

解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e

2dx

4e

2x

e 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x

将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是 例5

2

F(x) e2x e 2x

dy2

(1 y)的通解 求微分方程(y x) xdx

sec2udu

sec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2

secvdv

化简为sin(u v)

dudzdudz 1 再令z u v,则 1,方程化为 sinz 1 sinz dvdvdvdv

sinz(sinz 1) 1

dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,

1 sinz

v c2

1 sinz1 sinz z v c 2

cosz

z tanz secz v c z

最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。

§4.2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）

（甲）内容要点

一、可降阶的高阶微分方程

二、线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程

y p(x)y q(x)y 0

（1）

二阶非齐次线性方程

y p(x)y q(x)y f(x) （2）

1、 若y1(x),y2(x)为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合C1y1(x) C2y2(x)（C1,C2为任意常数）仍

为同方程的解，特别地，当y1(x) y2(x)( 为常数)，也即y1(x)与y2(x)线性无关时，则方程的通解为

y C1y1(x) C2y2(x)。

2、 若(x)为二阶非齐次线性方程的一个特解，而C1y1(x) C2y2(x)为对应的二阶齐次线性方程的通解（C1,C2为

独立的任意常数）则y (x) C1y1(x) C2y2(x)是此二阶非齐次线性方程的通解。 3、 设y1(x)与y2(x)分别是y p(x)y q(x)y f1(x)与

y p(x)y q(x)y f2(x)的特解，则y1(x) y2(x)是 y p(x)y q(x)y f1(x) f2(x)的特解

三、二阶常系数齐次线性方程

y py qy 0,

特征方程

p,q为常数

2 p q 0

特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式

（1）当 p 4q 0,特征方程有两个不同的实根 1, 2则方程的通解为 （2）当 p 4q 0,特征方程有而重根 1 2，则方程的通解为

222

y C1e 1x C2e 2x y (C1 C2x)e 1x

x

（3）当 p 4q 0,特征方程有共轭复根 i , 则方程的通解为 y e(C1cos x C2sin x) 四、二阶常系数非齐次线性方程

方程 通解

y py qy f(x)其中p,q为常数

y C1y1(x) C2y2(x)

其中C1y1(x) C2y2(x)为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次