相关变化率及微分的应用一、相关变化率 二、微分的应用

一、相关变化率x x ( t ) , y y( t ) 为两可导函数dx d y , x , y 之间有联系 之间也有联系 dt dt

称为 相关变化率 相关变化率解法三步骤(1) 找出相关变量的关系式 F ( x , y ) 0 对t 求导 (2) 相关变化率dx dt 和 dy dt

之间的关系式

(3) 代入指定时刻的变量值及已知变化率, 求出未知的相关变化率

例

一气球从离开观察员

500 m 处离地面铅直

上升 , v 140 米 / 分 . 当 h 500 m 时 , 观察员 视线的仰角增加率是多 少 ?500 米

解

设气球上升

t 秒后 , 其高度为 h ( t ),

观察员视线 的仰角为 ( t ), 则 h (1) tan F ( , h) 0 500

1

(2) 两边对 t 求导得 sec 2

d dt

dh

500 米

(3)

500 dt dh 140米 / 分, 当 h 500 m 时 , tan 1 , sec 2 2dt

d dt

1

1

140 0 . 14 ( 弧度 / 分 )

2 500

仰角增加率

练习

河水以 8 米 / 秒的体流量流入水库中0

3

, 水库

形状是长为

4000 米 , 顶角为 120 的水槽 , 问水 ?

深 20 米时 , 水面每小时上升几米

解 (1)

设开始注入

t 秒后 , 水深为 h ( t ),

水库内水容量为

V ( t ), 则60

0

V ( t ) 4000 S ( t ) 4000 3h ( t )2

(2) 两边对 t 求导得(3) dV dt3

dV dt

8000 3h h 20 m ,

dh dt

3600 8米 / 小时,

dh dt

3600 8 20 8000 3

0 . 104 ( 米 / 小时 )

二、微分在近似计算中的应用1. 函数的近似计算 (1) 计算函数增量的近似值 y dy f ( x ) x . 0例 r0 10 cm 的金属圆片加热后 0 . 05 cm , 问面积增大了多少设 A r , r0 10 cm ,2

用来近似计算

y.

, 半径伸长了 ?

解

r 0 . 05 cm .

A dA A ( r0 ) r 2 r0 r 2 10 0 . 05 ( cm ).2

( 2 ) 计算 f ( x ) 在 x 0 点附近的近似值

y f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x . f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x .

例

计算 cos 60 3 0 的近似值 .o

解 设f ( x ) cos x , 而 f ( x ) sin x ( x 为弧度 ) 令x0 0

, x

3

cos 60 3 0 cos(

360

360

)1 2 3 2 360

cos

3

sin

3

0 . 4924 .

3 360

求 f ( x ) 在点 x0 0 附近的近似值

f ( x ) f (0) f (0) x

(| x | 很小时)

常用近似公式n

( x 很小时 )

1 x 1

1 n

x;

sin x x ( x 为弧度 ); ex

tan x x ( x 为弧度 ); ln( 1 x ) x .

1 x;

例

计算下列各数的近似值

.

(1 )

3

998 . 5 ;

(2) e

0 . 03

.

2、误差估计 定义：如果某个量的真值为x , 其近似值为 x0 .

若 x x 0 | x | x , 则称 x 为 x 的

绝对

误差限

( 简称绝对误差

);

x x0 ).

叫做

x 的相对误差限

( 简称相对误差

例

设 y f ( x ) 由于 x 的误差而引起 当 | x | x时 , 求 y 及 y | f ( x0 ) | .

y 的误差 ,

例

求边长为

a 2 . 41 0 . 005 m 的正方形的 对误差 .S 2a .

面积 , 并估计绝对误差与相解正方形面积为 S a , 则2

a 0 2 . 41 m ,

a 0 . 005 m , S0 a 0 5 . 808 m2 2

所求面积的近似值

绝对误差相 对误差所求面积

S S (a 0 ) a 2 a 0 0 . 005 0 . 0241 m 2 S S0 0 . 0241 5 . 8082

0 . 0041 0 . 41 %

S S 0 S ( 5 . 808 0 . 0241 ) m .

作业习题2-7 (122页) 1. 5(1). 6(2)(4). 9.