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一题多解在数学解题中的运用

-以2010年高考数学（17）题为例

李 艳

甘肃省兰州市第六十五中学 730070

摘要：一题多解是开发智力、培养能力的一种行之有效的方法,它对沟通不同知识间的联系,开拓思路,培养发散思维能力,激发学生的学习兴趣都十分有益.在教学中，恰当而又适量地采用一题多解的方法,进行思路分析，探讨解题规律和对习题的多角度“追踪”,能“以少胜多”地巩固基础知识,提高分析问题和解决问题的能力,掌握基本的解题方法和技巧.本文以2010年高考数学17题为例,分析一题多解在数学解题中的运用,旨在说明在平时的数学教学中应培养学生一题多解的习惯.

关键词：一题多解；三角函数；数学教学

一题多解是激发学生兴趣、开拓思路、培养思维品质和应变能力的一种十分有效的方法.一题多解的构思方法是：从数学基本知识方面构思；从数学基本方法方面构思；从初等数学中的代数、立体几何、解析几何、三角函数等的横向综合沟通方面构思,等等.如2010年普通高等学校招生全国统一考试的文、理科数学(17)题：

ABC中,D为边BC上的一点,BD 33,sinB

对这道高考题,可以采用如下多种解法求解：

53

,cos ADC ,求AD. 135

分析1 根据图一,先求出sin BAD,再利用正弦定理求AD. 解法1 由题意可得cosB

124

,sin ADC . 135

从而 sin BAD sin( ADC B)

sin ADCcosB cos ADCsinB

41235

51351333

.

65

533

ADBDBD sinB 25. 由正弦定理得 , 所以AD

33sinBsin BADsin BAD

65

分析2 联立正弦定理与余弦定理构造一个关于AD的方程，并从中解出AD.

1244

解法2 由题意可得cosB ,sin ADC . 从而sin ADB sin ADC .

1355

ABAD52

AD. 由正弦定理得, 所以AB

sin ADBsinB25

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52AB2 BD2 AD212

AD代入此式,可得： ，将AB 又由余弦定理知cosB

252AB BD13

27027AD2 1029600AD 8848125 0

求解该一元二次方程, 得AD 25.

分析3 过D作AB的垂线，垂足为F(见图二), 先求出sin BAD，再由直角三角形ADF解出AD.

解法3 过D作AB的垂线，垂足为F,则

DF BDsinB 33

5165 . 1313

又sin BAD sin( ADC B)

sin ADCcosB cos ADCsinB

33DF

25. , 所以AD

65sin BAD

分析4 过D作AB的垂线，垂足为F(见图二),利用诱导公式求出cos ADF,再根据直角三角形ADF求出AD.

解法4 过D作AB的垂线，垂足为F, 则

5165

DF BDsinB 33 .

1313165DF135

而且cos BDF ,

BD3313 12

sin BDF sin( B) cosB ,

2134

sin ADC ,

5

cos ADF cos( BDF ADC)

cos( BDF ADC) cos BDFcos ADC sin BDFsin ADC

33DF

25. ， 从而AD

65cos ADF

分析5 过A作BC的垂线AE,垂足为E(见图三),在直角三角形ADE中设AD x，得出AE,BE的长度的表示式,然后在直角三角形ABE中利用勾股定理.

4

解法5 过A作BC的垂线AE,垂足为E.设AD x,则由sin ADC 可得

5AE

433

x, DE x. 这样 BE 33 x, AB 555

43

(x)2 (33 x)2. 55

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再由sinB

AE

AB

4x5

43(x)2 (33 x)255

5

, 得x 25. 13

分析6 过A作BC的垂线AE(见图三),在Rt ADE中利用cos ADC 别为:AE 4x,DE 3x,AD 5x；同时在Rt ABE中利用tanB 解法6 过A作BC的垂线AE,垂足为E.

3

设三边的长分5

AE

求解x. BE

3

,可设AE 4x,DE 3x,AD 5x. 555, tanB sinB . 13124x5

即， 解得x 5. 从而AD 5x 5 5 25.

33 3x12

分析7 过D作AB的垂线DF,过A作BC的垂线AE(见图四),这样便可以构造两个相似三角形，然后借助“相似三角形的对应边成比例”这一性质求解AD.

解法7 过D作AB的垂线DF,垂足为F;过A作BC的垂线AE,垂足为E.

AEBE

则 BDF与 BAE相似, 这样. DFBF

3

又cos ADC ,可设AE 4x,DE 3x,AD 5x.

55512

由sinB 得:DF 33 ,BF 33 .

131313

由cos ADC 因此

4x33

513

33 3x

, 解得x 5. 1233

13

从而AD 25.

（图一） （图二）

（图三） （图四）

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从上面的多种解法我们注意到解法6和解法7比较简单,数学问题形式多样,由于思维定势产生的负效应,学生解题时往往墨守成规,而思维灵活性的培养在解题教学中主要表现为一题多解.因此,在教学及学习过程中应注重一题多解.一题多解以其思维的发散性,探求问题的多方向性、多层次性、多侧面性,解法转化的灵活性,使数学解题的方法五彩缤纷,各具特色.在教学及学习中运用一题多解,是学好数学的一种良好方法.运用一题多解,总结各种解法,有利于学生的知识系统化、深刻化;运用一题多解,有利于培养良好的数学思维品质;运用一题多解,有利于学生寻求规律,更好地学会求解数学问题;运用一题多解,有利于开发学生的智力及培养思考问题的能力.

参考文献：

[1] 程观航,数学教学的几点体会[J];安徽教育;1980年03期. [2] 苏晓改,也谈一题多解[J], 黑龙江科技信息,2011年03期. [3] 赵伟伟,运用“一题多解、多变”培养学生发散性思维力[J], 科技信息,2010年31期. [4] 范超华,由数学解题谈数学教育[J], 科技信息, 2010年19期.

[5] 严彬, 用一题多解提高学生的分析能力[J], 长沙大学学报, 2010年02期.

附：

作者姓名：李艳，性别：女，出生年（1977－），工作单位：甘肃省兰州市第六十五中学，通讯地址：甘肃省兰州市第六十五中学，邮编730070， 研究方向：数学教学研究， 电话：13919291082， 投稿日期：2011.7.14