圆与方程 (教案)

时间：2025-04-26

现代课堂“三维七段单元教学”设计

（高一数学必修二第四章）

化简可得： ( x a ) + ( y b) = r2 26

②

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引导学生自己证明 ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2 为圆的方程，得出结论。方程②就是圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。【点拨讲解】例(1) :写出圆心为 A(2, 3) 半径长等于 5 的圆的方程，并判断点 M 1 (5, 7), M 2 ( 5, 1) 是否在这个圆上。点拨：可以从计算点到圆心的距离入手。【互动探究】探究二：点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2 的关系的判断方法： (1) ( x0 a ) + ( y0 b) > r 2 ,点在圆外2 2

(2) ( x0 a ) + ( y0 b) = r 2 ,点在圆上2 2

(3) ( x0 a ) + ( y0 b) < r 2 ,点在圆内2 2

例(2) :

ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B (7, 3), C (2, 8), 求它的外接圆的方程可知，要确定圆的标准方程，可用

师生共同分析：从圆的标准方程 ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2

待定系数法确定 a、b、r 三个参数.(学生自己运算解决) 例(3):已知圆心为 C 的圆 l : x y + 1 = 0 经过点 A(1,1) 和 B (2, 2) ,且

圆心在 l : x y + 1 = 0 上,求圆心为 C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B (2, 2) ,由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等，所以圆心 C 在险段 AB 的垂直平分线 m 上，又圆心 C 在直线 l 上，因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点，半径长等于 CA 或 CB 。

(教师板书解题过程。 )4

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【诊断反思】比较例(2) 、例(3) ABC 外接圆的标准方程的两种求法： 1、根据题设条件，列出关于 a、b、r 的方程组，解方程组得到 a、b、r 得值，写出圆的标准方程. 2、根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. (教师启发，学生自己比较、归纳) 【训练内化】课本 p127 第 1、3、4 题【辅导提升】课本 p130 习题 4.1 第 2、3、4 题

教学后记：

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（高一数学必修二第四章）

2、请同学们写出圆的标准方程：(x-a) +(y-b) =r ,圆心(a,b),半径 r. 把圆的标准方程展开、整理。【互动探究】2 2 2

同学们在课前先学自研中展开圆的标准方程：(x-a) +(y-b) =r 整

理得出2 2 2 2 2

了：x +y -2ax-2by+a +b -r =0. 取 D = 2a, E = 2b, F = a 2 + b 2 r 2 得 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 这个方程是圆的方程.2 2

①

反过来给出一个形如 x +y +Dx+Ey+F=0 的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

【点拨讲解】讲解一：配方得 ( x +

D 2 E D 2 + E 2 4F ) + ( y + )2 = 。 2 2 4 1 D E 2 2 (1)当 D + E 4 F > 0 时，方程表示以 ( , ) 为圆心， D 2 + E 2 4 F 为半径 2 2 22 2

的圆； (2)当 D + E 4 F = 0 时，方程表示一个点

(

D E , ) ; 2 2(3) 当 D + E 4 F < 0 时，方程不表示任何图形2 2 2 2 综上所述，方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 表示的曲线不一定是圆

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【诊断反思】圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)2 2

(1)①x 和 y 的系数相同，不等于 0.②没有 xy 这样的二次项. (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。【点拨讲解】讲解二：例 1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

(1) 4 x 2 + 4 y 2 4 x + 12 y + 9 = 0 ( 2 ) 4 x 2 + 4 y 2 4 x + 12 y + 11 = 0

学生自己分析探求解决途径： ①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。 ②、② 、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于

(1) 4 x 2 + 4 y 2 4 x + 12 y + 9 = 0 来说，这里的9 D = 1, E = 3, F = 而不是D=-4,E=12,F=9 . 4例 2:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。点拨：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程王新敞学案新疆

解：设所求的圆的方程为： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

, ),C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面 ∵ A(0, 0), B (11的方程，可以得到关于 D, E , F 的三元一次方程组，

F = 0 即 D + E + F + 2 = 0 解此方程组，可得： D = 8, E = 6, F = 0 4 D + 2 E + F + 20 = 0 ∴ 所求圆的方程为： x 2 + y 2 8x + 6 y = 0 D F = 4, = 3 2 2王新敞学案新疆

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1 D 2 + E 2 4F = 5 ; 2

2 2 得圆心坐标为(4,-3).或将 x + y 8 x + 6 y = 0 左边配方化为圆的标准方程，

( x 4) 2 + ( y + 3) 2 = 25 ,从而求出圆的半径 r = 5 ,圆心坐标为(4,-3)

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