圆与方程 (教案)
时间:2025-04-04
时间:2025-04-04
现代课堂“三维七段单元教学”设计
( 高一数学必修二 第四章)
化简可得: ( x a ) + ( y b) = r2 26
2
②
4
A2
M
-5
5
-2
-4
引导学生自己证明 ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2 为圆的方程,得出结论。 方程②就是圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。 【点拨讲解】 例(1) :写出圆心为 A(2, 3) 半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M 1 (5, 7), M 2 ( 5, 1) 是 否在这个圆上。 点拨:可以从计算点到圆心的距离入手。 【互动探究】 探究二:点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2 的关系的判断方法: (1) ( x0 a ) + ( y0 b) > r 2 ,点在圆外2 2
(2) ( x0 a ) + ( y0 b) = r 2 ,点在圆上2 2
(3) ( x0 a ) + ( y0 b) < r 2 ,点在圆内2 2
例(2) :
ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B (7, 3), C (2, 8), 求它的外接圆的方程可知,要确定圆的标准方程,可用
师生共同分析:从圆的标准方程 ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2
待定系数法确定 a、b、r 三个参数.(学生自己运算解决) 例(3):已知圆心为 C 的圆 l : x y + 1 = 0 经过点 A(1,1) 和 B (2, 2) ,且
圆心在 l : x y + 1 = 0 上,求圆心为 C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B (2, 2) ,由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等,所以圆心 C 在险段 AB 的垂直平分线 m 上, 又圆心 C 在直线 l 上,因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点,半径长等于 CA 或 CB 。
(教师板书解题过程。 )4
l2
A
-5
m
5
-2
C
B
-4
-6
【诊断反思】 比较例(2) 、例(3) ABC 外接圆的标准方程的两种求法: 1、根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写出圆的标准 方程. 2、根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准 方程. (教师启发,学生自己比较、归纳) 【训练内化】 课本 p127 第 1、3、4 题 【辅导提升】 课本 p130 习题 4.1 第 2、3、4 题
教学后记:
现代课堂“三维七段单元教学”设计
( 高一数学必修二 第四章)
2
2
2
2、请同学们写出圆的标准方程:(x-a) +(y-b) =r ,圆心(a,b),半径 r. 把圆的标准方程展开、整理。 【互动探究】2 2 2
同学们在课前先学自研中展开圆的标准方程:(x-a) +(y-b) =r 整
理得出2 2 2 2 2
了:x +y -2ax-2by+a +b -r =0. 取 D = 2a, E = 2b, F = a 2 + b 2 r 2 得 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 这个方程是圆的方程.2 2
①
反过来给出一个形如 x +y +Dx+Ey+F=0 的方程,它表示的曲线一定是圆吗?
【点拨讲解】 讲解一: 配方得 ( x +
D 2 E D 2 + E 2 4F ) + ( y + )2 = 。 2 2 4 1 D E 2 2 (1)当 D + E 4 F > 0 时,方程表示以 ( , ) 为圆心, D 2 + E 2 4 F 为半径 2 2 22 2
的圆; (2)当 D + E 4 F = 0 时,方程表示一个点
(
D E , ) ; 2 2(3) 当 D + E 4 F < 0 时,方程不表示任何图形2 2 2 2 综上所述,方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 表示的曲线不一定是圆
王新敞学案
新疆
【诊断反思】 圆的一般方程的特点:(启发学生归纳)2 2
(1)①x 和 y 的系数相同,不等于 0.②没有 xy 这样的二次项. (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方 程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标 准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 【点拨讲解】 讲解二: 例 1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。
(1) 4 x 2 + 4 y 2 4 x + 12 y + 9 = 0 ( 2 ) 4 x 2 + 4 y 2 4 x + 12 y + 11 = 0
学生自己分析探求解决途径: ①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。 ②、② 、 运 用 圆 的 一 般 方 程 的 判 断 方 法 求 解 。 但 是 , 要 注 意 对 于
(1) 4 x 2 + 4 y 2 4 x + 12 y + 9 = 0 来说,这里的9 D = 1, E = 3, F = 而不是D=-4,E=12,F=9 . 4例 2:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐 标。 点拨:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条 件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程王新敞学案 新疆
解:设所求的圆的方程为: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
, ),C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面 ∵ A(0, 0), B (11的方程,可以得到关于 D, E , F 的三元一次方程组,
F = 0 即 D + E + F + 2 = 0 解此方程组,可得: D = 8, E = 6, F = 0 4 D + 2 E + F + 20 = 0 ∴ 所 求 圆 的 方 程 为 : x 2 + y 2 8x + 6 y = 0 D F = 4, = 3 2 2王新敞学案 新疆
王新敞学案
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王新敞学案
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r=
1 D 2 + E 2 4F = 5 ; 2
2 2 得圆心坐标为(4,-3).或将 x + y 8 x + 6 y = 0 左边配方化为圆的标准方程,
( x 4) 2 + ( y + 3) 2 = 25 ,从而求出圆的半径 r = 5 ,圆心坐标为(4,-3)
王新敞学案
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学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤:①根
据提议,选择标准方程或一般 方程;②根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组;③解出 a、b、r 或 D、E、F,代入 标准方程或一般方程。 例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 …… 此处隐藏:3296字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……
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