现代课堂“三维七段单元教学”设计

（ 高一数学必修二 第四章）

化简可得： ( x a ) + ( y b) = r2 26

2

②

4

A2

M

-5

5

-2

-4

引导学生自己证明 ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2 为圆的方程，得出结论。 方程②就是圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 【点拨讲解】 例(1) :写出圆心为 A(2, 3) 半径长等于 5 的圆的方程，并判断点 M 1 (5, 7), M 2 ( 5, 1) 是 否在这个圆上。 点拨：可以从计算点到圆心的距离入手。 【互动探究】 探究二：点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2 的关系的判断方法： (1) ( x0 a ) + ( y0 b) > r 2 ,点在圆外2 2

(2) ( x0 a ) + ( y0 b) = r 2 ,点在圆上2 2

(3) ( x0 a ) + ( y0 b) < r 2 ,点在圆内2 2

例(2) :

ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B (7, 3), C (2, 8), 求它的外接圆的方程可知，要确定圆的标准方程，可用

师生共同分析：从圆的标准方程 ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2

待定系数法确定 a、b、r 三个参数.(学生自己运算解决) 例(3):已知圆心为 C 的圆 l : x y + 1 = 0 经过点 A(1,1) 和 B (2, 2) ,且

圆心在 l : x y + 1 = 0 上,求圆心为 C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B (2, 2) ,由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等，所以圆心 C 在险段 AB 的垂直平分线 m 上， 又圆心 C 在直线 l 上，因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点，半径长等于 CA 或 CB 。

(教师板书解题过程。 )4

l2

A

-5

m

5

-2

C

B

-4

-6

【诊断反思】 比较例(2) 、例(3) ABC 外接圆的标准方程的两种求法： 1、根据题设条件，列出关于 a、b、r 的方程组，解方程组得到 a、b、r 得值，写出圆的标准 方程. 2、根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准 方程. (教师启发，学生自己比较、归纳) 【训练内化】 课本 p127 第 1、3、4 题 【辅导提升】 课本 p130 习题 4.1 第 2、3、4 题

教学后记：

现代课堂“三维七段单元教学”设计

（ 高一数学必修二 第四章）

2

2

2

2、请同学们写出圆的标准方程：(x-a) +(y-b) =r ,圆心(a,b),半径 r. 把圆的标准方程展开、整理。 【互动探究】2 2 2

同学们在课前先学自研中展开圆的标准方程：(x-a) +(y-b) =r 整

理得出2 2 2 2 2

了：x +y -2ax-2by+a +b -r =0. 取 D = 2a, E = 2b, F = a 2 + b 2 r 2 得 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 这个方程是圆的方程.2 2

①

反过来给出一个形如 x +y +Dx+Ey+F=0 的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

【点拨讲解】 讲解一： 配方得 ( x +

D 2 E D 2 + E 2 4F ) + ( y + )2 = 。 2 2 4 1 D E 2 2 (1)当 D + E 4 F > 0 时，方程表示以 ( , ) 为圆心， D 2 + E 2 4 F 为半径 2 2 22 2

的圆； (2)当 D + E 4 F = 0 时，方程表示一个点

(

D E , ) ; 2 2(3) 当 D + E 4 F < 0 时，方程不表示任何图形2 2 2 2 综上所述，方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 表示的曲线不一定是圆

王新敞学案

新疆

【诊断反思】 圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)2 2

(1)①x 和 y 的系数相同，不等于 0.②没有 xy 这样的二次项. (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数，圆的方 程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标 准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 【点拨讲解】 讲解二： 例 1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

(1) 4 x 2 + 4 y 2 4 x + 12 y + 9 = 0 ( 2 ) 4 x 2 + 4 y 2 4 x + 12 y + 11 = 0

学生自己分析探求解决途径： ①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。 ②、② 、 运 用 圆 的 一 般 方 程 的 判 断 方 法 求 解 。 但 是 ， 要 注 意 对 于

(1) 4 x 2 + 4 y 2 4 x + 12 y + 9 = 0 来说，这里的9 D = 1, E = 3, F = 而不是D=-4,E=12,F=9 . 4例 2:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐 标。 点拨：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条 件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程王新敞学案 新疆

解：设所求的圆的方程为： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

, ),C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面 ∵ A(0, 0), B (11的方程，可以得到关于 D, E , F 的三元一次方程组，

F = 0 即 D + E + F + 2 = 0 解此方程组，可得： D = 8, E = 6, F = 0 4 D + 2 E + F + 20 = 0 ∴ 所 求 圆 的 方 程 为 ： x 2 + y 2 8x + 6 y = 0 D F = 4, = 3 2 2王新敞学案 新疆

王新敞学案

新疆

王新敞学案

新疆

r=

1 D 2 + E 2 4F = 5 ; 2

2 2 得圆心坐标为(4,-3).或将 x + y 8 x + 6 y = 0 左边配方化为圆的标准方程，

( x 4) 2 + ( y + 3) 2 = 25 ,从而求出圆的半径 r = 5 ,圆心坐标为(4,-3)

王新敞学案

新疆

学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：①根

据提议，选择标准方程或一般 方程；②根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组；③解出 a、b、r 或 D、E、F,代入 标准方程或一般方程。 例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上 ( x + 1) + y = 4 运动，求线段2 2

AB 的中点 M 的轨迹方程。 分析：如图点 A 运动引起点 M 运动，而点 A 在已知圆上运动，点 A 的坐标满足方程

( x + 1)

2

+ y 2 = 4 。建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以建立点 M 的坐标满足的条件，求

出点 M 的轨迹方程。 解 ： 设 点 M 的 坐 标 是 ( x,y ) , 点 A 的 坐 标 是

3 ( x 0 , y 0 ) .由 于 点 B 的 坐 标 是 ( 4,) 且 M 是 线 段 A B 的 重 点 ， 所 以x0 + 4 y +3 ,y= 0 , ① 2 2 于是有x0 = 2 x 4, y0 = 2 y 3 x=因为点A在圆 ( x + 1) + y 2 = 4 上运动，所以点 A 的坐标满足方程 ( x + 1) + y 2 = 4 ,即2 2

( x0 + 1)

2

+ y0 2 = 42

( x0 + 1)

2

+ y0 2 = 42

②

把①代入②,得2

( 2 x 4 + 1) + ( 2 y 3)2

3 3 = 4, 整理，得 x- + y = 1 2 2

【诊断反思】 1、课本 P.129 例 4 解完后，问：与例 2 的方法比较，你有什么体会 2、用待定系数法求圆方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2) 根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组；(3)解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程 或一般方程。 3、 “曲线”和“方程”是动点运动规律在“形”和“数”方面的反映。在解析几何的问题 中，求动点的轨迹方程是一种常见题型。求动点的轨迹方程的常用方法有：直接法、代入法.

【训练内化】 2 2 2 2 1、若(2m +m-1)x +(m -m+2)y +m+2=0 的图形表示一个圆，则 m 的值是___。 2、已知 ABC 的顶点坐标分别是 A(1,1)、B(3,1)、C(3,3),求 ABC 外接圆的方程。 3、过圆外一点 Q (a, b) 向圆 O: x 2 + y 2 = r 2 ( r > 0) 作割线，交圆于 A、B 两点，求弦 AB 中点 M 的轨迹。

教学后记：

现代课堂“三维七段单元教学”设计

（ 高一数学必修二 第四章）

探究二：你能两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例 1 的问题吗？

指导学生完成教科书上的例 1. 【诊断反思】 通过学习教科书的例 1,你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？ 生：阅读例 1. 师；分析例 1,并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注 意给学生留有总结思考的时间. 生：交流自己总结的步骤. 师：展示解题步骤. 【点拨讲解】 例 2、已知一个圆和 y 轴相切，在直线 y = x 上截得的弦长为 2 7 ,且圆心在直线 x 3 y = 0 上，求圆的方程。 | a |= r 解：设所求圆的方程为： ( x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2 ,则有 a 3b = 0 | a b| ( )2 + ( 7)2 = r 2 2

解方程组得 a = 3, b = 1, r = 3 或 a = 3, b = 1, r = 3 , 则所求圆的方程为 ( x 3) 2 + ( x 1) 2 = 9 或 ( x + 3) 2 + ( y + 1) 2 = 9 【诊断反思】 通过例 2 的学习，你发现了什么？ 师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法. 生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法.

【训练内化】 1.设 m > 0 ,则直线 2 ( x + y ) + 1 + m = 0 与圆 x 2 + y 2 = m 的位置关系为 A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 2 2 2.已知直线 ax+by+c=0(abc≠0)与圆 x +y =1 相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c| 的三角形 A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在 3.设直线过点 (0, a ) ,其斜率为 1, 且与圆 x 2 + y 2 = 2 相切,则

a 的值为 A.± 2 B.±2 C.±2 2 D.±4

4. a = b ”是“直线 y = x + 2 与圆 ( x a ) 2 + ( y b) 2 = 2 相切”的 “ A 充分而不必要条件. B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若直线 2ax by + 2 = 0( a > 0, b > 0) 始终平分圆 x 2 + y 2 + 2 x 4 y + 1 = 0 的周长,则

1 1 + 的最小值为 a b 1 A. 4

B.

1 2

C. 4

D. 4 .

6.设 P 为圆 x 2 + y 2 = 1 上的动点，则点 P 到直线 3x 4 y 10 = 0 的距离的最小值为 _ 7.已知圆 C : ( x + 5) 2 + y 2 = r 2 点，则 r 的取值范围是

(r > 0) 和直线 l : 3 x + y + 5 = 0 . 若圆 C 与直线 l 没有公共.

8.设直线 ax y + 3 = 0 与圆 ( x 1) 2 + ( y 2) 2 = 4 相交于 A 、 B 两点，且弦 AB 的长为

2 3 ,则 a = ___.9.过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直 线 l 的斜率 k= (三)解答题： 10.圆 x 2 + y 2 = 8 内有一点 P ( 1,2) ,AB 为经过点 P 且倾斜角为 α 的弦。 (1)当 α = .

3π 时，求弦 AB 的长； (2)当弦 AB 被点 P 平分时求直线 AB 的方程。 4

教学后记：