正余弦定理的应用

复习

正弦定理：

a b c sin A sin B sin C

余弦定理：

a2=b2+c2-2bccosA b2= a2+c2-2accosB c2 =a2+ b2-2abcosC

余弦定理的推论：b +c -a cos A 2bc 2 2 2 c +a -b cos B 2ca 2 2 2 a +b -c cos C 2ab2 2 2

应用一：测量距离例1 如图1.2-1 设A、B 两点在河的两岸，要测量 两点之间的距离. 测量者在 A的同侧，在所在的河岸 边选定一点C,测出AC的 510 距离是55 m, ∠BAC=510, A ∠ACB=750.求A、B两点间 的距离.(精确到0.1 m)

B

750

C

解：根据正弦定理，得AB AC , sin C sin B

AC sin C 55sin C AB sin B sin B55sin 750 sin(1800 - 510 - 750 )55sin 750 65.7(m) 0 sin 54

答：A、B两点间的距离为65.7米

例2 如图1.2-2 设A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A、B两点间 距离的方法.A B

D

δ

γ

β α

C

分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于 余弦定理可以计算出A、B两点间距离。 解：测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得 CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β, ∠CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中，应用正弦定 理得 a sin( ) a sin( ) AC , 0 sin[180 - ( )] sin( )BC a sin a sin . 0 sin[180 - ( )] sin( )

计算出AC 和BC 后，再在V ABC中，应用余弦定理计算出 AB两点间的距离AB AC 2 BC 2 - 2 AC BC cos .

练习练习1 一艘船以32.2 n mile / h 速度向正北航行，在A处看灯塔S 在船的650

S

北偏东200的方向，30 min后航行到B处， B 在B处看灯塔在船的北偏东650的方向， 已知距离 此灯塔6.5 n mile以外的海区 为航行安全区域，这艘船可以继续沿正 北方向航行吗？A20 0

练习2 自动卸货汽车的车 厢采用液压机构，设计时需要 计算油泵顶杆BC的长度，已知 车箱的最大仰角是600,油泵顶 点B与车箱支点A之间的距离为 1.95 m, AB与水平线之间的夹角 为6020',AC长为1.40 m ,计算BC的长。A E60 0

C

60 20 '

B

小结正弦、余弦定理的应用：a b c sin A sin B sin C

a2=b2+c2-2bccosAb2= a2+c2-2accosB

c2 =a2+ b2-2abcosC

作业

课本19页习题1.2 A组 1 — 4 题