数学分析（III）试题答案

一 叙述题（每小题10分，共30分）

1 含参变量反常积分

∫

+∞

a

f(x,y)dx关于y在[c,d]上一致收敛的充要条件为：对于任意

给定的ε>0， 存在与y无关的正数A0， 使得对于任意的A′,A>A0，

∫

A′

A

f(x,y)dx<ε, y∈[c,d]成立。

2 Green公式：设D为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如果函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续偏导数，那么

D

∫Pdx+Qdy=∫(

D

Q P

dxdy， x x

其中 D取正向，即诱导正向。

Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。

3．设 为R上的零边界区域，函数u=f(x)在 上有界。将 用曲面网分成n个，记 Vi为 i的体积，并记所有的小区域 1, 2,..., n（称为 的一个分划）

小区域 i的最大直径为λ。在每个 i上任取一点xi，若λ趋于零时，和式 I=

n

∑f(x) V

i

i

i=1

n

的极限存在且与区域的分法和点xi的取法无关，则称f(x)在 上可积，并称此极限为

f(x)在有界闭区域 上的n重积分，记为

I=

∑f(P) V。 ∫fdV=limλ

→0

i

i

i=1

n

二 计算题（每小题10分，共50分）

1 解 令l: x=

1

cost, y=sint, 则 32

2π3xdy ydxxdy ydx22

sin)I=2==t+tdt=π. 222∫0633434x+yx+yCl

2 解 令u=xz, v=z y, 则

u z v z u z v z

=z+x, =, =x, = 1. x x x x y y y y