De e .2 01 4

CHI N ESE JoU RN A L oF EN G I N EERI N G M ATH EM TI CS

Vb 1 . 3 1 No . 6

d o i: 1 0 . 3 9 6 9/ j . i s s n . 1 0 0 5— 3 0 8 5 . 2 0 1 4 . 0 6 . 0 1 5

Ar t i c l e I D: 1 0 0 5 - 3 0 8 5 ( 2 0 1 4 ) 0 6 - 0 9 4 3 - 0 6

A na l yt i c Sol ut i ons of t he C auc hy Pr obl e m f o r

t he D G H Equat i on术ZHAO Ca i— xi a ,一 . FU Yi n g1

( 1一 S c h o o l o f Ma t h e ma t i c s, No r t h w e s t Un i v e r s i t y, Xi’ a n 7 1 0 1 2 7; 2一 E x p e r i me n t a l Mi d d l e S c h o o l o f Xi n z h o u o f S h a n x i P r o v i n c e, Xi n z h o u, S h a n x i 0 3 4 0 0 0 )A bs t r ac t:Ca u c h y pr o b l e m i s a k i nd o f i mpo r t a nt p r o bl e ms i n t h e s t u dy o f pa r t i a l di fe r e n t i a le q ua t i o n s . To a g r e a t d e g r e e,t he pr o pe r t i e s o f s o l u t i o n s d e pe nd o n p r o pe r t i e s o f

i ni t i a l v a l ue s .Co ns i de r e d he r e i n i s t h e p r o pe r t y o f s o l u t i o n s o f Ca u c h y pr o bl e m f o r t he Dul l i n— Go t t wa l d— Ho l m e q ua t i o n whe n t he i n i t i a l v a l ue s a r e a n a l y t i c .Ba s e d o na c o n t r a c t i o n t yp e a r g u me n t i n a s ui t a bl e s c a l e o f Ba na c h s pa c e s . we s h

o w t ha t t h e s o l u t i o ns of t hi s pr o b l e m a r e a n a l y t i c i n bo t h v a r i a bl e s, g l o ba l l y i n s p a c e a n d l o c a l l yi n t i me .

Ke yw or ds: D G H e q ua t i o n;c on t r a c t i o n a r g u me n t; a na l y t i c i t y

Cl a s s i i f c a t i o n: A MS ( 2 0 0 0 ) 3 5 B3 0; 3 5 G2 5; 3 5 L 0 5D OC E l m e nt c ode:A

CLC n u mb e r:O1 7 5 . 2 9

1 I n t r oduc t i o n

I n t h i s p a pe r, we c o n s i d e r t h e f o l l o wi n g i n i t i a l v a l ue p r o bl e m a s s o c i a t e d wi t h t he

D u l l i n - Go t t w a l d - H o l m( DG H) e q u a t i o n抑… …一

( 1 )

wh e r e t h e c o n s t a n t s o l。a n d

a r e s q u a r e s o f l e n g t h s c a l e s, a nd C 0=

i s t h e l i n e a r

wa v e s pe e d f o r u nd i s t u r be d wa t e r a t r e s t a t i n i f n i t y, h e r e h i s t h e me a n l f u i d d e p t h a n d

g i s t h e g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t, u ( x, t ) s t a n d s or f t h e l f u i d v e l o c i t y .

T h e e q u a t i o n( 1 )mo d e l s u n i d i r e c t i o n a l p r o p a g a t i o n o f s u r f a c e w a v e s o v e r a i f a tbo t t o m[¨.

Wh e n c g=0, ≠0, i t i s t h e Kd V e q u a t i o n .W h i l e f o r =0, =1, t h e

D GH e

q u a t i o n r e du c e s t o t h e Ca ma s s a - Ho l m e q u a t i o n.Re c e n t l y,t h e we l l— po s e d n e s s, s c a t t e r i n g p r o b l e m a n d s o me q u a l i t a t i v e p r o pe r t i e s f o r t h e D GH e q ua t i o n we r e s t u d i e dRe c e i v e d:2 2 F e b 2 0 1 3 .Ac ce pt e d:26 Aug 2 01 3 .

Bi o g r a p h y: z h a o Ca i x i a( B o r n i n 1 9 8 8 ), F e ma l e, Ma s t e r .Re s e a r c h i f e l d:qua l i t a t i v e t he or i e s of PDE .

F o u n d a t i o n i t e m: T h e N a t i o n a l N a t u r a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f C h i n a( 1 1 0 0 1 2 1 9 ); t h e N a t u r a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f S h a a n x i P r o v i n c e( 2 0 1 4 J Q1 0 0 2 ) .

CHI N ES E J O URN AL O F ENG I NEERI NG M ATH EM ATI CS

Vo L,31

i n f 2, 3 1 . Ho w e v e r, t h e r e i s n o p a p e r s t u d y i n g t h e a n a l y t i c s o l u t i o n s o f t h e DG H e q u a t i 0 nb y n O W.

T h e p u r p o s e o f t h i s p a p e r i s t o p r o v e t h e a n a l y t i c i t y o f s o l u t i o n s t o t h e p r o b l e m( 1 )i n bo t h v a r i a b1 e s z a n d .Ou r ma i n a p p r o a c h i s b a s e d o n a c o n t r a c t i o n t y p e a r g u me n ti n a s ui t a b l y c h o s e n

s c a l e o f Ba n a c h s p a c e s J .

Ou r ma i n r e s u l t i s g i v e n a S ol f l o ws .T he 0r e m 1 Le t u 0 b e a r e a l a n a l y t i c f u n c t i o n o n .Th e n t h e r e e x i s t E> 0 a n d

a u n i a u e s o l u t i o n u o f t h e i n i t i a l v a l u e p r o b l e m( 1 ) t h a t i s a n a l y t i c O n(一￡, E )×

2 An a l y t i c s o l u t i o n s t o t h e p r o b l e m( 1 )趴引

At i f r s t, we p r e s e n t s o me u s e f u l r e s u l t s t h a t we wi l l u s e l a t e r

Th e o r e m 2 1 7[L e t

) 0< s< 1 b e a s c a l e o f d e c r e a s i n g B a n a c h s p a c e s, s u c h t h a tS

U

f o r a n y s <s w e h a v e c , w i t h… … , … … . C o n s i d e r t h e C a u c h y p r o b l e m<=

F ( t, u ( t ) ),

R

( 2 )

u ( 0 )=0 .Le t T, R a n d C b e p o s i t i v e n u mb e r s a n d s u p p o s e t h a t F s a t i s i f e s t h e ol f l o wi n g c o n d i—t i o n s:

( i ) I f f o r a n y 0<s < s< 1, t h e f u n c t i o n ta n d c o n t i n u o u s O i l t T wi t h v a l u e s i n x a n d

( ) i s h o l o mo r p h i c o n I t l<

< T wi t h v a l u e s i n X, . t h e n t F( t, u ( t ) ) i s a h o l o mo r p h i c f u n c t i o n o

n t B( 0, R)C X, t h a t i s,… u…< ( i i 1 F o r a n y 0< s< s 1 a n d a n y u,∈

R,…

<R, w e h a v eC

s u p l I I r( t, u )一F( t,￣ ) l l l。,≤ S—t l< _ T

S

( i i i )T h e r e e x i s t s a M>0, s u c h t h a t f o r a n y 0<s<1,

F( t, 0 ) 1 1 1。 s u p…t T l

M.

T h e n t h e r e e x i s t s a T o∈( 0, T )a …… 此处隐藏：10413字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……