介绍了fft方法的matlab实现

FFT

University of Science and Technology of Beijing 沈政伟

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一，Fourier 级数 二，连续Fourier Transform 三，一维离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform).

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一，Fourier 级数 法国著名科学家傅立叶在1807年向法国国 家科学院提交的一篇报告中提出：“任何周期函 数都可以用一系列正弦波(谐波)来线性表示” --Fourier 级数. 2 考虑正弦波 sin(kt) ,显然该函数周期为 k ,对 应的频率为 k .而一般的乐器发出的声音以及 电压等信号都可以通过具有不同频率的正弦波函 数叠加来表示。 比如：信号 100sin(t ) 3sin(20t ) 0.5sin(100t ) 在持续为2 的时间内分别振动次数为 1, 20, 100次，而其中频率为1的分量振幅最大，达到 100,从而具有决定性作用。

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在一般情形下，信号 f (t ) 可以用下面正弦波的无 穷和形式来进行分解。

f (t ) ~ a0 [ak cos(kt) bk sin(kt)]k

在这个公式中，通过由Riemann-Lebesgue引理 知道：lim a k lim bk 0 (为什么？) k k 这表明一般实际信号(能量有限)中的高频成分 会随着频率的增大，相应的变小，信号中的主要 成分为少数系数(频率低的部分)所控制。而信 号的高频成分对应着信号中的细节部分，而低频 成分对应着信号的主要的信息.

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二，连续Fourier Transform 前面我们讨论的函数傅立叶级数都是在具有有 限周期(尤其是以 2 为周期的函数)情形下进 行展开的，但是无论是在理论上还是在实践中， 对于非周期函数性质的讨论都是非常有必要的。 如何从周期函数的傅立叶级数展开扩展到非 周期函数的傅立叶“级数”性质？或者是周期函 数可以展开成为傅立叶级数的形式，那么是否非 周期函数也可以展开成为傅立叶级数的形式呢？

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2.1 一维傅立叶变换的定义 1 dx 上的分 定理：设函数 f ( x ) L ( R) ,即 f(x) 段光滑函数，那么这个函数的傅立叶变换定义为：

f ( )

^

或者^

1 2

f ( x )e ix dx

f ( )

f ( x)e i 2 x dx

条件部分也可以这样描述：设 连续且可积函数

为实变量x的f ( x)

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这种定义是有意义的，并且函数 f (x) 可以通过其 傅立叶反演而得到：f ( x) 1 2

f ( ) eix d

^

或者f ( x)

f ( ) e

^

ix 2

d

在上面的式子中知道： 1 ,并且会注意到实 i 函数 f (x) 的傅立叶变换通常是复数形式.f ( ) R ( ) iI ( )^