积分对称性解答

重积分、第一类积分答疑解惑

问题1、为什么说设f(x,y)在区域D R2上可积，若D的的形状关于x轴对称，当f(x, y)= f(x,y)时，∫∫f(x,y)dxdy=0；当f(x, y)=f(x,y)时，

D

∫∫f(x,y)dxdy=2∫∫f(x,y)dxdy，其中D为D中位于x轴上方的部分？

1

D

D1

答：设f(x,y)在D=D1∪D2上可积，其中D1,D2是D中位于x轴上、下方的部分，由积分的可加性知， f(x,y)在D1,D2上均可积，且

∫∫fdxdy=∫∫fdxdy+∫∫fdxdy.若

D

D1

D2

f(x, y)= f(x,y)，

以直线族x=xi,y=yi(>0),i=1,2, ,n将D1分割，并对D2作相应(对称)的分割，即以x=xi,以及y= yi,i=1,2, ,n对D2分割. 取Dk(1)为 D1中的第k个子区域，相应地，在D2中有子区域.Dk(2),Dk(1)与Dk(2)关于x轴对称.

(ξk,ηk)∈Dk(1)(ηk≥0)，则 (ξk, ηk)∈Dk(2)，记λ=max{Dk(1)的直径}，则

n2

∑f(ξ,η∫∫f(x,y)dxdy=limλ

D1

→0

kk

)Δσk，

k=1

∑f(ξ, η)Δσ∫∫f(x,y)dxdy=limλ

D2

→0

n2

kkk

k=1

= lim∑f(ξk,ηk)Δσk= ∫∫f(x,y)dxdy，故∫∫f(x,y)dxdy=0.

λ→0

k=1

D1

D

n2

同理，若f(x, y)=f(x,y)，则

∫∫f(x,y)dxdy=2∫∫f(x,y)dxdy

D

D1

积分对称性解答

问题2、若区域D R2关于直线y=x（或y= x）对称，且

f(x,y)= f(y,x)(或f( y, x)= f(x,y))，是否有

∫∫f(x,y)dxdy=0？

D

答：结论成立。因为点(x,y)的关于 y=x的对称点为(y,x)，而它关于

y= x的对称点为( y, x)，用与上一个问题完全类似的方法可证明结论正确。

类似，若记D1,D2分别为直线y=x(或y= x)上方、下方的区域，则当

f(x,y)=f(y,x)（或f( y, x)=f(x,y)）时，

∫∫f(x,y)dxdy=2∫∫f(x,y)dxdy=2∫∫f(x,y)dxdy

D

D1

D2

问题3、在二重积分中，可利用积分区域D和被积函数f(x,y)的对称性求二重积分，在三重积分中是否也有类似方法？

答：在三重积分中，也可利用积分区域 Ω和被积函数f(x,y,z)的对称性求三重积分，比如

(i) 设 Ω的形状关于xy平面对称， 若f(x,y, z)= f(x,y,z)，则

∫∫∫f(x,y,z)dv=0；

Ω

若f(x,y, z)=f(x,y,z)，则

∫∫∫f(x,y,z)dv=2∫∫∫f(x,y,z)dv，

Ω

Ω1

其中 Ω1为 Ω中位于xy平面上方的部分。

(ii) 类似可的 Ω关于xz面对称，而f(x,y,z)是y的奇、偶函数的结论；以及 Ω关于yz面对称，而f(x,y,z)是x的奇、偶函数的结论。

(iii) 若 Ω关于平面y=x对称，

积分对称性解答

若f(y,x,z)= f(x,y,z)，则

∫∫∫f(x,y,z)dv=0；

Ω

若 f(y,x,z)=f(x,y,z)，则

∫∫∫f(x,y,z)dv=2∫∫∫f(x,y,z)dv，

Ω

Ω1

其中Ω1是Ω中位于平面y=x前方的部分。

问题4、在三重积分公式∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫dy∫

Ω

d x2(y)

c x1(y)

dx∫

z2(x,y)

z1(x,y)

f(x,y,z)dz

中，三重积分可化为三个定积分(三次积分)计算，其实质是化为先求一个定积分，再求一个二重积分，称为“先一后二”法,那么，三重积分是否可化为先求一个二重积分，再求一个定积分呢？

答：三重积分也可化为先求一个二重积分，再求一个定积分来计算，称为“先二后一”法，比如设Ω满足 C1≤z≤C2，并且以平行于xy面的平面z=常数(z)截

Ω所得平面区域为 Dz，如图2—8，则∫∫∫f(x,y,z)dv=∫dz∫∫

f(x,y,z)dxdy

Ω

c1

Dz

c2

特别，若f(x,y,z)=g(z) ，即它与x，y无关，则

∫∫∫

Ω

f(x,y,z)dv=∫dz∫∫g(z)dxdy=∫g(z)Dzdz

c1

Dz

c1

c2c2

其中Dz表 Dz的面积，一般与z有关

积分对称性解答

被积函数只含有一个字母时，用“先二后一”法相对简便，读者应注意掌握。 问题5、对弧长的曲线积分是否有几何意义，为什么？ 答：对弧长的曲线积分有几何意义，几何意义如下：

F(x,y)=0设曲面Σ：z=z(x,y)≥0与一个以xy平面上的曲线L： 为准线，

z0=

母线平行于z轴的柱面F(x,y)=0相交，则柱面夹在曲面Σ与xy平面之间部分的面积A，可以按下列方式求得（图2－12）：在曲线L上任取一点M(x,y)，并 ，其弧长记为Δs，在曲面Σ上点M'(x,y,z(x,y))与点M对由此任取一小段弧MN

应，相应地小柱面MM'NN'的面积为ΔA=z(x,y)Δs，按照分割－代替－求和－取极限的方法可得到此类柱面面积计算公式：

A=∫z(x,y)ds

L

这就是以z=z(x,y)为被积函数，以L为积分路线的对弧长的曲线积分，上式表明了对弧长的曲线积分的几何意义。

问题6、是否可利用函数f(x,y,z)及曲面Σ的对称性计算曲面积分

∫∫f(x,y,z)dS，方法怎样？答：类似二、三重积分，也可利用函数f(x,y,z)及曲

Σ

面Σ的对称性计算∫∫f(x,y,z)dS，设下述积分均存在。

Σ

(1) 设Σ的形状关于xy面对称，在Σ上有f(x,y, z)= f(x,y,z)，则

积分对称性解答

∫∫f(x,y,z)dS=0

Σ

若f(x,y, z)=f(x,y,z)，则∫∫f(x,y,z)dS=2∫∫f(x,y,z)dS，其中Σ1是Σ处

Σ

Σ1

于xy面上方的部分。

(2) 设Σ的形状关于xz面对称，若在Σ上，有f(x, y,z)= f(x,y,z)，则

∫∫f(x,y,z)dS=0

Σ

若f(x, y,z)=f(x,y,z)，则∫∫f(x,y,z)dS=2∫∫f(x,y,z)dS，其中Σ1是Σ处

Σ

Σ1

于xz面右边的部分。

(3) 设Σ的形状关于yz面对称，若在Σ上，有 f( x,y,z)= f(x,y,z)，则

∫∫f(x,y,z)dS=0

Σ

若f( x,y,z)=f(x,y,z)，则 处于yz面前方的部分。

∫∫f(x,y,z)dS=2∫∫f(x,y,z)dS，其中 Σ是Σ

1

Σ

Σ1