福州大学 大学物理下 规范作业解答

大学物理规范作业静电场中的导体、电容器总(22)1

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一、选择题1.如图，两孤立同心金属球壳，内球壳接地，外球壳带有正电 荷，则内球壳【 C 】。 (A)不带电荷 (C)带负电荷 (B)带正电荷 (D)无法判断

分析：内球壳如果不带电则外球壳内 部场强为0,这时内球壳电势为正， 与内球壳接地，电势为0不符。所以 内球壳应带负电。两球壳产生的电势 在内球叠加后应为零。

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2.半径分别为R1和R2的两个同轴金属圆筒，其间充满 着相对介电常数为εr的均匀介质，设两筒上单位长度 带电量分别为+λ和-λ,则介质中的电位移矢量的大 C 】。 小是【 (A)0 (B) (C) (D)2 0 r2 r2 r 0 r

解：取半径为r的柱状高斯面

D

S

D d S D 2 rh hhr

D

2 r

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3.一空气平行板电容器，其电容为Co,充电后将电源断 开，二板间电势差为U12。今在二极板间充满相对介电 常数为εr 的各向同性均匀电介质，则此时电容值C′、 二极板间的电势差U12′与Co的关系是【 C 】。( A) C ' C0 (C ) C ' C0 U12 U12'

( B) C ' C0 ( D) C ' C0

U12 U12'

U

' 12

U12

U

' 12

U12

解:电源断开后再充入电介质,电容器极板上的电荷不变, 而由于电介质的极化电场强度下降：E C

E0

rq U 12

U 12 rC 0

U 12

r

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二、填空题 1、半径分别为R和r的两个弧立球形导体(R>r), 两者相距甚远，用一根细长导线将它们连接起来， 并使它们带电，则两球表面电荷密度的比值 r/R 。 σR/σr= qR Qr 解：两孤立导体球电势相等 4 0 R 4 0 r

R

4 R

2

4 0 R

r 4 r4 0 r

2

∴σR/σr=r/R5

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2、一个带电为 Q的导体球半径为 R,距离导体球球心 为 a处(a>R)有一点电荷q,以无限远为电势零点， Q q 导体球的电势是 。 4 0 R 4 0 aQrq

解：在静电平衡时，导体球为等势 体。导体球球心电势为也是导体球 的电势，球心处的电势为：U0

a

4 0 R 4 0 a Q q 4 0 R 4 0 a0

Q

dq

q

这一电势也是导体球的电势。易见负电荷将使导 体球的电势减小，正电荷将使导体球的电势增大。

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3、一平行板电容器充电后切断电源，然后使两 极板间充满介电常数为ε的各向同性均匀电介质， 此时两极板间的电场强度是原来的 0 倍;电场能 量是原来的 0 倍。 解:电源断开后充电介质,极板的电荷不变E E E0 W W0 E0

r 1

0 r

C rC 0q2

0 0

r1

W

2C

W0

r

r

7

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三、计算题 1、两个同心的薄金

属球壳，内、外球壳半径分别为 R1=0.02m和R2=0.06m。球壳间充满两层均匀电介质， 它们的相对介电常量分别为εr1 =6和εr2 =3 。两层电介 质的分界面半径 R = 0.04m。设内球壳带电量 Q=- 6×10-8C,求：两球壳之间的电势差。 解：由介质中的高斯定律,取与两球同心半径为r的球形 高斯面 D

S

D d S 4 r 2 D QQ 4 r2

Q

解得： D

o

R1

r

R2

在第二种介质中的D与上式相同8

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两介质中的电场强度为：E1 Q 4

r r1 0

2

E2

Q 4 r2

0r

2

由电势的定义U 12

R

Qdr 4 r1

R1

0r(

2

R2

Qdr 4 r2

R

0r

2

Q 4 4 r1

1 R1

0 0

1 R 1 R2

)Q

o

R1

Qr2

(

1 R

)

R2

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Q 4 r1

09

(

1 R1

1 R

)

Q 4 r2

0

(

1 R

1 R2

)

9 10 6 10 1 ( 1 1 0 . 06

8

[

1

(

1

1 0 . 04

)

6 0 . 02 )] 3 0 . 04 3700 v

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2. 球形电容器内外半径分别为R1和R2,充有电量Q 。 写出电场能量密度，通过积分求电容器内电场的总能 量；

解：(1)依据高斯定理，易得：E Q 4 0 r2

Q( R1 r R 2 ) Q

W

w1 22

e

dV

2 2

1

0

E dV2

2

o

R1R2

r

R2

R1

0(

Q 4 0 r

) 4 r dr2

Q ( R 2 R1 ) 8 0 R 1 R 2

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(2) E

Q 4 0 r2

( R1 r R 2 )

W

Q ( R 2 R1 )2

8 0 R 1 R 2

V

Edr

R2

Q 4 0 r2

dr Q

R1

Q

Q ( R 2 R1 ) 4 0 R 1 R 2Q VQ

o

R1R2

r

C

4 0 R 1 R 2 ( R 2 R1 )

2

W

2C

Q ( R 2 R1 )2

8 0 R 1 R 212