第十讲 一元一次不等式（组）

【基础知识回顾】

一、 不等式的基本概念：

1、不等式：用 连接起来的式子叫做不等式

2、不等式的解：使不等式成立的 值，叫做不等式的解 3、不等式的解集：一个含有未知数的不等的解的 叫做不等式的解集 【名师提醒：1、常用的不等号有 等 2、不等式的解与解集是不同的两个概念，不等式的解是单独的未知数的值，而解集是一个范围的未知数的值组成的集合，一般由无数个解组成

3、不等式的解集一般可以在数轴上表示出来。注意“>”“<”在数轴上表示为 ，而“≥”“≤”在数轴上表示为 】 二、不等式的基本性质：

基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个 或同一个 不等号的方向 ，即：若a<b,则a+c b+c(或a-c b-c)

基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个 不等号的方向 ，

ab

即：若a<b，c>0则a c b c（或）

cc

基本性质3、不等式两边都乘以（或除以）同一个 不等号的方向 ，

ab

即：若a<b ，c <0则a c b c（或）

cc

【名师提醒：运用不等式的基本性质解题时要主要与等式基本性质的区别与联

系，特别强调：在不等式两边都乘以或除以一个负数时，不等号的方向要 】 三、一元一次不等式及其解法：

1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是且系数的不等式叫一元一次不等式，其一般形式为 或 。

2、一元一次不 等 式 的 解 法 步 骤 和 一 元一次方程的解法相同，即包含 、 、 、 、 等五个步骤

【名师提醒：在最后一步系数化为1时，切记不等号的方向是否要改变 】 四、一元一次不等式组及其解法：

1、定义：把几个含有相同未知数的 合起来，就组成了一个一元一次不等式组

2、解集：几个不等式解集的叫做由它们所组成的不等式组的解集 3、解法步骤：先求出不等式组中各个不等式的 再求出他们的 部分，就得到不等式组的解集 4、一元一次不等式组解集的四种情况（a<b） 1、 x>a 2、

x>b X<a X<b

解集 口诀：大大取大

解集 口诀：

3、

X>a

解集 口诀：

X＜b

4、 X<a 解集 口诀：

X>b

【名师提醒：1、求不等式的解集，一般要体现在数轴上，这样不容易出错。

2、一元一次不等式组求解过程中往常出现求特殊解的问题，比如：整数解、非负数解等，这时要注意不要漏了解，特别当出现“≥”或“≤”时要注意两头的数值是否在取值的范围内】 五、一元一次不等式（组）的应用：

基本步骤同一元一次方程的应用可分 、 等六个步骤 【名师提醒：列不等式（组）解应用题，涉及的题型常与方案设计型问题相联系如：最大利润，最优方案等】

【重点考点例析】 考点一：不等式的性质

例1 （2013 乐山）若a＞b，则下列不等式变形错误的是（ ） A．a+1＞b+1

B．

ab 22

C．3a-4＞3b-4 D．4-3a＞4-3b

点评：主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 对应训练

1．2013 广东）已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是（ ） A．a-5＜b-5

B．2+a＜2+b

C．

ab 33

D．3a＞3b

考点二：在数轴上表示不等式（组）的解 例2 （2013 张家界）把不等式组

x 1

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

2x 1 5

B． D．

A．C．

点评：此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，把每个不等式的

解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”

要用空心圆点表示． 对应训练

2．（2013 营口）不等式组

2(x 5) 6

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

5 2x 1 2x

A． B．

C． D．

考点三：不等式（组）的解法

例3 （2013 成都）不等式2x-1＞3的解集是 ．

点评：本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键． 例4 （2013 永州）解不等式组

2x 3 1

，并把解集在数轴上表示出来．

2 x 0

点评：此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 对应训练 3．（2013 莆田）不等式2x-4＜0的解集是 ． 4．（2013 湛江）解不等式组

x① 2x 1

，并把它的解集在数轴上表示出来．

0 0② x 1

考点四：不等式（组）的特殊解

A．1 B．2 C．3 D．4

点评：本题主要考查了一元一次不等式组的解法，难度一般，关键是会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值． 对应训练

5．（2013 常德）求不等式组

2x 1 0

的正整数解．

x 2x 5

考点五：确定不等式（组）中字母的取值范围 例6 （2013 宁夏）若不等式组

x a 0

有解，则a的取值范围是 ．

1 2x x

2

点评：本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出不等式组的解集并与已知解集比较，进而求得另一个未知数的取值范围． 对应训练

考点六：不等式（组）的应用

对应训练 7．（2013 本溪）某中学响应“阳光体育”活动的号召，准备从体育用品商店购买一些排球、足球和篮球，排球和足球的单价相同，同一种球的单价相同，若购买2个足球和3个篮球共需340元，购买4个排球和5个篮球共需600元． （1）求购买一个足球，一个篮球分别需要多少元？

（2）该中学根据实际情况，需从体育用品商店一次性购买三种球共100个，且购买三种球的总费用不超过6000元，求这所中学最多可以购买多少个篮球？ 8．（2013 东营）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．

（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？

（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．

【聚焦山东中考】 1．（2013 济宁）已知ab=4，若-2≤b≤-1，则a的取值范围是（ ） A．a≥-4 B．a≥-2 C．-4≤a≤-1 D．-4≤a≤-2 2．（2013 威海）不等式组

2x 0

的解集在数轴上表示为（ ）

2 x 1

A． B． C． D．

3．（2013 日照）如果点P（2x+6，x-4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范

围在数轴上可表示为（ ）

A． B． C． D．

4．（2013 聊城）不等式组

3x 1 2

的解集在数轴上表示为（ ）

4 2x 0

A． B．

C． D．

5．（2013 滨州）若把不等式组

2 x 3

的解集在数轴上表示出来，则其对应的图形为

x 1 2

（ ）

A．长方形 B．线段 C．射线 D．直线

9

．（2013 潍坊）为增强市民的节能意识，我市试行阶段电价，从2013年开始，按照每户的每年的用电量分三个档次计费，具体规定如图，小明统计了自家2013年前5个月的实际用电量为1300度，请帮助小明分析下面问题： （1）若小明家计划2013年全年的用电量不超过2520度，则6至12月份小明家平均每月用电量最多为多少度？（保留整数）

（2）若小明家2013年6至12月份平均每月用电量等于前5个月的平均每月用电量，则小明家2013年应交总电费多少元？

10．（2013 莱芜）某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干．已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元，且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同．

（1）两种跳绳的单价各是多少元？

（2）若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，问学校有几种购买方案可供选择？ 11．（2013 济南）设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．

（1）数表A如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可） 表1

【备考真题过关】 一、选择题

x 1

1．（2013 淮安）不等式组 的解集是（ ）

x 0

A．x≥0 B．x＜1 C．0＜x＜1 D．0≤x＜1

2．（2013 玉林）在数轴上表示不等式x+5≥1的解集，正确的是（

） A．

B．

C．

D．

3．（2013 湘西州）若x＞y，则下列式子错误的是（ ） A．x-3＞y-3

B．-3x＞-3y

C．x+3＞y+3

D．

xy

33

4．（2013 绵阳）设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）

A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、▲、■ 5．（2013 恩施州）下列命题正确的是（ ） A．若a＞b，b＜c，则a＞c B．若a＞b，则ac＞bc

2222

C．若a＞b，则ac＞bc D．若ac＞bc，则a＞b 6．（2013 丽水）若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解是（ ） A．x≤2 B．x＞1 C．1≤x＜2 D．1＜x≤2

7．（2013 襄阳）不等式组

2 x

1

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

2x 1 7

C．

D．

A． B．

A．-1，0，1

B．0，1

C．-2，0，1

D．-1，1

x 2

9．（2013 河南）不等式组 的最小整数解为（ ）

x 2 1

A．-1 B．0 C．1 D．2

10．（2013 孝感）使不等式x-1≥2与3x-7＜8同时成立的x的整数值是（ ） A．3，4 B．4，5 C．3，4，5 D．不存在

0 x 2m 11．（2013 荆门）若关于x的一元一次不等式组 有解，则m的取值范围为（ ）

x m 2

A．m＞-

2

3

B．m≤

2 3

C．m＞

2 3

D．m≤-

2 3

12．（2013 资阳）在芦山地震抢险时，太平镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够90人，那么预定每组分配的人数是（ ） A．10人 B．11人 C．12人 D．13人 二、填空题

2x-b 0

17．（2013 鄂州）若不等式组 的解集为3≤x≤4，则不等式ax+b＜0的解集

x a 0

为 ．

18．（2013 乌鲁木齐）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了n道题，则根据题意可列不等式 ．

19．（2013 厦门）某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全区域．甲工人在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为0.01米/秒，步行的速度为1米/秒，骑车的速度为4米/秒．为了确保甲工人的安全，则导火线的长要大于 米． 三、解答题

26．（2013 呼和浩特）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？ 27．（2013 贵港）在校园文化建设中，某学校原计划按每班5幅订购了“名人字画”共90幅．由于新学期班数增加，决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发，如果每班分4幅，则剩下17幅；如果每班分5幅，则最后一班不足3幅，但不少于1幅． （1）该校原有的班数是多少个？ （2）新学期所增加的班数是多少个？

28．（2013 益阳）“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输．“益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．

（1）求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？

（2）随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．

29．（2013 攀枝花）某文具店准备购进甲，乙两种铅笔，若购进甲种钢笔100支，乙种铅笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元． （1）求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？

（2）若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲中钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？

（3）若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？