统计学课件第四章抽样与抽样分布-吉林师范函授本科

第四章 抽样与抽样分布

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总体、个体和样本(概念要点)总体(Population):调查研究的事物或现象的全 总体 体 个体(Item unit):组成总体的每个元素 个体 ： 样本(Sample):从总体中所抽取的部分个体 ： 样本 样本容量(Sample size):样本中所含个体的数 样本容量 ： 量

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第一节 常用的抽样方法 一、简单随机抽样 二、分层抽样 三、系统抽样 四、整群抽样

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第二节

抽样分布

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抽样分布(概念要点)1. 所有样本指标(如均值、比例、方差等) 所形成的分布称为抽样分布 2. 是一种理论概率分布 3. 随机变量是 样本统计量– 样本均值, 样本比例等

4. 结果来自容量相同的所有可能样本

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样本均值的抽样分布(一个例子)【例】设一个总体，含有4个元素(个体),即总体单 设一个总体，含有4个元素(个体) 位数N 位数 N=4 。 4 个个体分别为 X1=1 、 X2=2 、 X3=3 、 X4=4 个个体分别为X 。总体的均值、方差及分布如下 总体的均值、 均值和方差N

总体分布.3 .2 .1 0 1 2 3 4

=

∑Xi=1

i

NN i=1

= 2.5

σ =2

( Xi )2 ∑ N

= 1.25

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样本均值的抽样分布(一个例子)现从总体中抽取n 现从总体中抽取n=2的简单随机样本，在重复 的简单随机样本， 抽样条件下，共有4 16个样本。 抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果 如下表所有可能的 = 2 的样本(共16个) 所有可能的n 的样本( 所有可能的 个 第一个 第一个 观察值 观察值 1 2 3 4 第二个观察值 第二个观察值 1 1,1 2,1 3,1 4,1 2 1,2 2,2 3,2 4,2 3 1,3 2,3 3,3 4,3 4 1,4 2,4 3,4 4,4

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样本均值的抽样分布(一个例子)计算出各样本的均值，如下表。 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布16个样本的均值(x) 个样本的均值( ) 个样本的均值 第一 第一 第二个观察值 第二个观察值 个 观察 观察 值 1 2 3 4 1 1.0 1.5 2.0 2.5 2 1.5 2.0 2.5 3.0 3 2.0 2.5 3.0 3.5 4 2.5 3.0 3.5 4.0.3 .2 .1 0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x P(x)

样本均值的抽样分布

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所有样本均值的均值和方 差n

1.0 +1.5 +L+ 4.0 x = = = 2.5 = M 16i=1n

∑xi=1

i

σ =2 x

∑(x

i

x )2

M (1.0 2.5)2 +L+ (4.0 2.5)2 σ2 = = 0.625 = 16 n

式中：M 式中：M为样本数目 比较及结论：1. 比较及结论：1. 样本均值的均值(数学期望)等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n 样本均值的方差等于总体方差的1/n

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样本均值的分布与总体分布的比 较总体分布.3 P(x)

抽样分布

.3 .2 .1 0 1 2 3 4

.2 .1 0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x

= 2.5σ2 =1.25

x = 2.5 2 σ x = 0.625

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样本均值的抽样分布 与中心极限定理当总体服从正态分布N 当总体服从正态分布N ~ (,σ2 )时，来自该总体的所 有容量为n的样本的均值 也服从正态

分布， 有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X 的 数学期望为 方差为σ 数学期望为，方差为σ2/n。即X~N(,σ2/n)σ =10n=4 σx = 5 n =16 σ x = 2.5

= 50

X

x = 50

X

总体分布

抽样分布

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中心极限定理(图示)中心极限定理： 中心极限定理：设从均值为，方差为σ 2的一个任意总 体中抽取容量为n的样本， 体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽 充分大时， 样分布近似服从均值为 方差为σ 样分布近似服从均值为、方差为σ2/n的正态分布一个任意分 布的总体

σ σx = n

当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) , 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布

x =

X

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样本方差的抽样分布

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样本方差的分布设总体服从正态分布N 设总体服从正态分布N ~ (,σ2 ), X1,X2,… ,Xn为来自该正态总体的样本，则样本方差 为来自该正态总体的样本， s2 的分布为

(n 1)s

2

σ

2

~ χ (n 1)2

将χ2(n – 1)称为自由度为(n-1)的卡方分布 1)称为自由度为( 1)的卡方分布

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卡方 (χ2) 分布选择容量为n 选择容量为 的

总体

不同容量样本的抽样分布n=1 n=4 n=10

简单随机样本

σ

计算样本方差S 计算样本方差 2

计算卡方值

n=20

χ2 = (n-1)S2/σ2计算出所有的

χ2

χ 2值

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均值的标准误1. 所有可能的样本均值的标准差，测度所 有样本均值的离散程度 2. 小于总体标准差 3. 计算公式为

σx =

σn