第一轮总复习课件(理数)：第40讲_数列与推理证明的综合应用新课标高中数学

新课标高中一轮总复习

理数

第五单元 数列、推理与证明

第40讲数列与推理证明的综合应用

1.理解数列知识中的推理、证明；

并能灵活应用推理、证明研究数列、 构造数列，培养创新应用能力. 2.掌握数列与数学归纳法的关系， 并熟练使用数学归纳法证明数列或数 列综合问题，培养递推意识.

1.根据给出的数塔猜测1 234 567×9+8=( B ) 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111 A.11 111 110 B.11 111 111 C.11 111 112 D.11 111 113

由题意知，当乘数为 1,即一位 数时，结果为二位数 11 ;当乘数为 12 , 即二位数时，结果为三位数 111;依此 类推，当乘数为1 234 567,即七位数 时，结果为八位数11 111 111.

2.若把正整数按下图所示的规律排序，则 从2010到2012的箭头方向依次为( D ) 1 4 →5 8 →9 12… ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ 2 →3 6 →7 10 →11 A.↓→ B.→↓

C.↑→

D.→↑

2010=4×502+2, 而 an=4n 是 每 一 个 上边不封闭的正方形右、上顶点的数.

3. 把数列 {2n+1} 依次按第一个括号一个数，

第二个括号两个数，第三个括号三个数， 第四个括号四个数，第五个括号一个数 ……循环下去，如：(3),(5,7),(9,11, 13 ), (15 , 17 , 19 , 21) , …,则第 104 个 2072 括号内各数字之和为 . 前面 103 个括号中共用了 256 个数， 第 104 个括号有4个数分别是 515 , 517 , 519,521,其和为2072.

4. 在一次考试后，如果按成绩顺序去掉一些

高分 ,那么班级的平均分将降低；反之，如 果按顺序去掉一些低分 ,那么班级的平均分 将提高，这个事实可以用数学语言描述； 若有 限 数 列 ,a ,…,a 2 满 足 an1≤a2≤…≤an, 则 a1 a2 a a a 1 m 2 a1 an.

和

am 1 am 2 an a1 a2 an n m n

m

n

(1≤m≤n)

(1≤m≤n) .

(结论用数学式子表示).

5.类比数列{an}的前n项和Sn与an的关系，若 已知数列{an}的前n项的乘积Tn=3n+1,则 4n (n=1) 其通项公式an= 3 1 3n 1 1 (n≥2). .

当n=1时，a1=T1=4; T 3 1 当n≥2时，an= T = 3 1 ,nn n 1n 1

所以通项公式为an= 4 3

1 3n 1 1n

(n=1) (n≥2).

1.数列的通项、前n项和、性质离不开

推理与证明，常伴随函数与方程、转化与 化归、分类讨论等重要思想. 2. 数列与数学归纳法“血脉交融”, 用数学归纳法证明数列问题将成为高考的 “热点”;常伴有配方法、换元法、待定 系数法、放缩法等基本数学方法.

典例精讲题型一 数列与类比推理的整 合 例1 在等差数列 {an}中，若a10=0,则有等式 a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n < 19 , n∈N*)成立.类比上述性质 ,相应地,在等比 b1b2…bn=b1b2… 数 列 {bn} 中 , 若

b9=1, 则 有 b17-n(n<17,n∈N*).

等式成立.

本题考查等差数列与等比数列的类比 . 一种较本质的认识是：等差数列 →用减法定 义 → 性质用加法表述(若 m,n,p,q∈N* ,且 m+n=p+q,则am+an=ap+aq); 等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若 m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am· an=ap· aq). 由 此 ， 猜 测 本 题 的 答 案 为 ： b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).

点评本题是一道小巧而富于思考的妙题，主 要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运 用类比的思想方法由等差数列 {an} 而得到等比 数列 {bn}的新的一般性的结论 .事实上，对等差 数列{an},如果ak=0,则an+1+a2k-1-n=an+2+a2k-2-n =…=ak+ak=0.所以有：a1+a2+…+an=a1+a2+… +an+(an+1+an+2+…+a2k-2-n+a2k-1-n)(n<2k-1, n∈N*).从而对等比数列{bn},如果bk=1,则有 等式:b1b2…bn=b1b2…b2k-1-n(n<2k-1,n∈N*)成 立.可见，类比应是“质上”类比，而不是“形

定义“等和数列”:在一个数列中， 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常 数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数 叫做该数列的公和 .已知数列 {an}是等和数列， 3 且a1=2,由等和数列的定义，易知 公和为5,那么a18的值为 a2n-1 ,这个数 =2, 列的前5 n项和Sn的计算公式为 a2n=3(n=1,2, …) (n ,为偶数 故 a18=3. 当n为偶数时 n ) 5 5 1 2 Sn= 5 n; 1 n为奇数时，Sn= n,Sn= 2当 2 .2 (n为奇数). 2 n- 2变式

题型二 数列与归纳推理的整合项为1,公差为1的等差数列；a10,a11,…,a20是公 差为 d 的等差数列； a20,a21,…,a30 是公差为 d2 的 等差数列(d≠0). (1)若a20=40,求d; (2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围; (3)续写已知数列,使得a30,a31,…,a40是公差为d3的 等差数列，……,以此类推,把已知数列推广为 无穷数列 .提出同 (2)类似的问题 ((2)应当作为特 例),并进行研究,你能得到什么样的结论?

例2 已知数列 a1,a2,…,a30, 其中 a1,a2,…,a10 是首