高中数学 第二章《平面向量》复习教案 北师大版必修4

高中数学 第二章《平面向量》复习教案 北师大版必修4

第二章平面向量复习课（2课时）

[第一部分：知识归纳]

1.知识结构

中的应用

中的应用

何中的应用

何中的应用

平面向量

2.重要公式、定理

①.平面向量基本定理：如果1

e，

2

e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a

，有且只有一对实数λ1，λ2使a

=λ11

e+λ2

2

e.

②. 向量共线的两种判定方法：a

∥b

(0

≠

b)0

1

2

2

1

=

-

=

⇔

y

x

y

x

b

aλ

③. a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| =

2

2y

x+

④.若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则

−→

−

AB=2

2

1

2

2

1

)

(

)

(y

y

x

x-

+

-

⑤.cos =

|

|

|

|b

a

b

a

∙

∙

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

y

x

y

x

y

y

x

x

+

+

+

=

⑥.a b a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）

3.学习本章应注意的问题及高考展望

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①.在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系，注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题。

②.向量是数形结合的载体，在本章的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.同时向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段。

③.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质，这类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。

④.以解答题出现的题目，一般结合其它数学知识，综合性较强，难度大，以解决几何问题为主.在学习本章时应立足于课本，掌握双基，精读课本是关键.

[第二部分：基础测试]（供选用）

教材P125—126第1、2、3题

[第三部分：应用举例]（供选用）

例1.如图△ABC 中，−→

−AB = c ，−→−BC = a ，−→

−CA = b ，则下列推导 不正确的是……………（ ）

A ．若a •b < 0，则△ABC 为钝角三角形。

B ．若a •b = 0，则△AB

C 为直角三角形。 C ．若a •b = b c ，则△ABC 为等腰三角形。

D ．若c • (a + b + c) = 0，则△ABC 为正三角形。

解：A ．a •b = |a||b|co s < 0，则cos < 0， 为钝角

B ．显然成立

C ．由题设：|a |cosC = |c|cosA ，即a 、c 在b 上的投影相等

D ．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC 为正三角形

例2.设非零向量a 、b 、c 、d ，满足d = (a •c) b (a •b)c ，求证：a d

证：内积a •c 与a •b 均为实数，

∴a •d = a • [(a •c) b (a •b)c] = a • [(a •c) b] a • [(a •b)c]

= (a •b)(a •c) (a •c)(a •b) = 0

∴a d

例3.已知|a| = 3，b = (1,2)，且a ∥b ，求a 的坐标。

解：设a = (x,y) ∵|a| = 3 ∴322=+y x …①

又：∵a ∥b ∴1•y 2•x = 0 …② 解之：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==556553y x 或⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=-=55

6553y x 即：a = (556,553) 或a = (

556,553--) 例4.已知a 、b 都是非零向量， a + 3b 与7a 5b 垂直，且a 4b 与7a 2b 垂直，A

C a c b

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求a 与b 的夹角。

解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16a •b 15b2 = 0 ①

(a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30a •b + 8b2 = 0 ② 两式相减：2a b = b2

代入①或②得：a2 = b2

设a 、b 的夹角为 ，则cos =

21||2||||22==∙b b b a b a ∴ = 60 例5.已知：|a| =2，|b| = 3，a 与b 夹角为45 ，求使a+λb 与λa+b 夹角为锐角的λ的取值范围。

解：由题设：a •b = |a||b|cos = 3×2×22

= 3

(a+λb) (λa+b) =λ|a|2 +λ|b|2 + (λ2 + 1)a •b = 3λ2 + 11λ + 3

∵夹角为锐角 ∴必得3λ2 + 11λ + 3 > 0 ∴ 68511--<

λ或68511+->λ

例6.a 、b 为非零向量，当a + tb(t R)的模取最小值时，①求t 的值；②求证：b 与a + tb 垂直

解：① |a + tb|2 = |a|2 + t2|b|2 + 2t|a||b|

∴当t =||||222b b a b b a ⋅-=∙-

时, |a + tb|最小 ② ∵b • (a + tb) = a •b ||||2

b b a b ∙= 0 ∴b 与a + tb 垂直

例7.证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

证：设−→−AC = b ，−→−CB = a ，则−→−AD =−→−AC +−→−CD = b+21a, −→

−−→−−→−+=CB EC EB =a +21b ∵A, G, D 共线，B, G, E 共线

∴可设−→−AG =λ−→−AD ，−→−EG = μ−→

−EB , 则−→−AG =λ−→

−AD =λ(b+21a)=λb+21λa, −→−EG = μ−→−EB = μ(21b+a)=21μb+μ

a, C

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