2013届高三一轮复习课时训练15:导数应用
时间:2025-04-04
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2013届高三一轮复习课时训练(新课标)
2013届高三一轮复习课时训练15:导数应用
1.函数y=lnx-x在x∈(0,e]上的最大值为( ) A.e B.1 C.-1 D.-e 解析:选C.函数y=lnx-x的定义域为(0,+∞),
1-x1
又y′=-1=
xx
令y′=0得x=1,
当x∈(0,1)时,y′>0,函数单调递增; 当x∈(1,e]时,y′<0,函数单调递减. 当x=1时,函数取得最大值-1,故选C.
2.函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,则m的值为________.
解析:∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),∵f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,∴当x=0时,f(x)取最大值m,∴m=3. 答案:3 3.(2011·高考北京卷)已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 解:(1)f′(x)=(x-k+1)ex. 令f′(x)=0,得x=k-1. f(x)与f′(x)
所以,f(x)(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x
)在[0,1]上单调递增, 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k; 当0<k-1<1,即1<k<2时,
由(1)知f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1; 当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减, 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.
一、选择题
1.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 答案:C
2.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为( ) A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 解析:选B.设剪去的小正方形边长为x cm,则V=x·(48-2x)2=4x(24-x)2,∴V′(x)=4(24-x)2+8x(24-x)(-1),令V′(x)=0可以得x=8.故选B.
1π
3.函数f(x)=x(sinx+cosx)在区间[0,]上的值域为( )
22
11π11πA.[ B.e)
222222
ππ
C.[1,e] D.(1,e)
22
11
解析:选A.f′(x)=x(sinx+cosx)+x(cosx-sinx)=excosx,
22
ππ
当0≤x≤f′(x)≥0,∴f(x)是[0,上的增函数.
22
π1π
∴f(x)的最大值为f()=e,
2221
f(x)的最小值为f(0)2
4.(2012·兰州调研)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为( ) A.0≤a<1 B.0<a<1
1
C.-1<a<1 D.0<a<2
22
解析:选B.∵y′=3x-3a,令y′=0,可得:a=x.又∵x∈(0,1),∴0<a<1.故选B. 5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率均为-1,给出以下结论:
3
①f(x)的解析式为f(x)=x-4x,x∈[-2,2];
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②f(x)的极值点有且仅有一个; ③f(x)的最大值与最小值之和等于0. 其中正确的结论有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析:选C.∵f(0)=0,∴c=0, ∵f′(x)=3x2+2ax+b. f′ 1 =-1 3+2a+b=-1∴ ,即 . f′ -1 =-1 3-2a+b=-1解得a=0,b=-4,
∴f(x)=x3-4x,∴f′(x)=3x2-4.
2
令f′(x)=0,得x=3∈[-2,2],
3
∴极值点有两个.
∵f(x)为奇函数,∴f(x)max+f(x)min=0. ∴①③正确,故选C. 二、填空题
1
6.函数f(x)=2-lnx在[1,e]上的最大值为________.
2
11
解析:∵f′(x)=x-,∴当x∈(1,e)时,f′(x)>0,∴f(x)在[1,e]上是增函数,故f(x)min=f(1)x2
1答案:2
7.已知f(x)=-x2+mx+1在区间[-2,-1]上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是________.
mm
解析:f′(x)=m-2x,令f′(x)=0,则x=,由题设得∈[-2,-1],故m∈[-4,-2].
22
答案:[-4,-2]
8.已知函数f(x)=ax3-3x+1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围是________. 解析:当x∈(0,1]时不等式ax3-3x+1≥0可化为 3x-1a≥,
x
3x-1
设g(x)=,x∈(0,1],
x
16x232
3x- 3x-1 3x
g′(x)=
xxg′(x)与g(x)随x
(因此g(x)的最大值为4答案:[4,+∞) 三、解答题
3
9.已知a为实数,函数f(x)=(x2+1)(x+a).若f′(-1)=0,求函数y=f(x)在-2,1上的最大值和最小值. 解:∵f′(-1)=0,
∴3-2a+1=0,即a=2.
1
∴f′(x)=3x2+4x+1=3x+3(x+1).
1
由f′(x)>0,得x<-1或x>-
31
由f′(x)<0,得-1<x3331
因此,函数f(x)在-21上的单调递增区间为-2,-1,-31,
1
单调递减区间为-1,-3.
∴f(x)在x=-1处取得极大值为f(-1)=2;
1150
f(x)在x=-f-3=3273135013
又∵f-2=f(1)=6,且>,
82783
∴f(x)在-21上的最大值为f(1)=6,
[]
()][[
[][]
()
()[]
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313
最小值为f-2=8
10.(2011·高考浙江卷)设函数f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0. (1)求f(x)的单调区间;
(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立. 注:e为自然对数的底数.
解:(1)因为f(x)=a2ln x-x2+ax,其中x>0,
x-a 2x+a a2
所以f′(x)=2x+a=- …… 此处隐藏:1460字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……
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