2013届高三一轮复习课时训练(新课标)

2013届高三一轮复习课时训练15:导数应用

1．函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为( ) A．e B．1 C．－1 D．－e 解析：选C.函数y＝lnx－x的定义域为(0，＋∞)，

1－x1

又y′＝－1＝

xx

令y′＝0得x＝1，

当x∈(0,1)时，y′＞0，函数单调递增； 当x∈(1，e]时，y′＜0，函数单调递减． 当x＝1时，函数取得最大值－1，故选C.

2．函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，则m的值为________．

解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)取最大值m，∴m＝3. 答案：3 3．(2011·高考北京卷)已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． 解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex. 令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)

所以，f(x)(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x

)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k； 当0<k－1<1，即1<k<2时，

由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1； 当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.

一、选择题

1．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A．－2 B．0 C．2 D．4 答案：C

2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm 解析：选B.设剪去的小正方形边长为x cm，则V＝x·(48－2x)2＝4x(24－x)2，∴V′(x)＝4(24－x)2＋8x(24－x)(－1)，令V′(x)＝0可以得x＝8.故选B.

1π

3．函数f(x)＝x(sinx＋cosx)在区间[0，]上的值域为( )

22

11π11πA．[ B．e)

222222

ππ

C．[1，e] D．(1，e)

22

11

解析：选A.f′(x)＝x(sinx＋cosx)＋x(cosx－sinx)＝excosx，

22

ππ

当0≤x≤f′(x)≥0，∴f(x)是[0，上的增函数．

22

π1π

∴f(x)的最大值为f()＝e，

2221

f(x)的最小值为f(0)2

4．(2012·兰州调研)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( ) A．0≤a<1 B．0<a<1

1

C．－1<a<1 D．0<a<2

22

解析：选B.∵y′＝3x－3a，令y′＝0，可得：a＝x.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.故选B. 5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：

3

①f(x)的解析式为f(x)＝x－4x，x∈[－2,2]；

2013届高三一轮复习课时训练(新课标)

②f(x)的极值点有且仅有一个； ③f(x)的最大值与最小值之和等于0. 其中正确的结论有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：选C.∵f(0)＝0，∴c＝0， ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b. f′ 1 ＝－1 3＋2a＋b＝－1∴ ，即 . f′ －1 ＝－1 3－2a＋b＝－1解得a＝0，b＝－4，

∴f(x)＝x3－4x，∴f′(x)＝3x2－4.

2

令f′(x)＝0，得x＝3∈[－2,2]，

3

∴极值点有两个．

∵f(x)为奇函数，∴f(x)max＋f(x)min＝0. ∴①③正确，故选C. 二、填空题

1

6．函数f(x)＝2－lnx在[1，e]上的最大值为________．

2

11

解析：∵f′(x)＝x－，∴当x∈(1，e)时，f′(x)＞0，∴f(x)在[1，e]上是增函数，故f(x)min＝f(1)x2

1答案：2

7．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．

mm

解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，则x＝，由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．

22

答案：[－4，－2]

8．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________． 解析：当x∈(0,1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为 3x－1a≥，

x

3x－1

设g(x)＝，x∈(0,1]，

x

16x232

3x－ 3x－1 3x

g′(x)＝

xxg′(x)与g(x)随x

(因此g(x)的最大值为4答案：[4，＋∞) 三、解答题

3

9．已知a为实数，函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)．若f′(－1)＝0，求函数y＝f(x)在－2，1上的最大值和最小值． 解：∵f′(－1)＝0，

∴3－2a＋1＝0，即a＝2.

1

∴f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3x＋3(x＋1)．

1

由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞－

31

由f′(x)＜0，得－1＜x3331

因此，函数f(x)在－21上的单调递增区间为－2，－1，－31，

1

单调递减区间为－1，－3.

∴f(x)在x＝－1处取得极大值为f(－1)＝2；

1150

f(x)在x＝－f－3＝3273135013

又∵f－2＝f(1)＝6，且＞，

82783

∴f(x)在－21上的最大值为f(1)＝6，

[]

()][[

[][]

()

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313

最小值为f－2＝8

10．(2011·高考浙江卷)设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0. (1)求f(x)的单调区间；

(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立． 注：e为自然对数的底数．

解：(1)因为f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0，

x－a 2x＋a a2

所以f′(x)＝2x＋a＝－.

xx

由于a>0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)． (2)由题意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e. 由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，

要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．

f 1 ＝a－1≥e－1，只要

f e ＝a2－e2＋ae≤e2，解得a＝e.

11．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)． (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本) (2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？ 解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)； MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19)． (2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)， ∵1≤x≤20，x∈N*，∴P′(x)＝0时，x＝12， 当1≤x<12，且x∈N*时，P′(x)>0， 当12<x≤20，且x∈N*时，P′(x)<0， ∴x＝12时，P(x)有最大值．

即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大． (3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305. 所以当x≥1时，MP(x)单调递减， 所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*.

MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘船的利润相比，在减少．

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