第一讲 相似三角形的判定及有关性质 章末复习方案 课件(人教A选修4-1)

2

返回

2

返回

2

相似三角形的判定定理与性质定理是计算式证明几何 问题的基础，要会灵活应用，同时，解题时要注意作辅助

线构造三角形相似的条件.

返回

2

1.利用相似三角形，求线段的长或线段的比[例1] 如图，已知 ABCD的对角

线相交于O,延长AB到F,连接OF交 BC于E,若AB=a,BC=b,BF=c, 求BE的长.[解] 过 O 作 OG∥AB,交 BC 于 G 点.

∵∠COG=∠CAB,∠CGO=∠CBA, OG CG CO ∴△COG∽△CAB.∴ = = . AB CB CA 又∵O 是 ABCD 的对角线的交点， 1 ∴CO= CA. 2

返回

2

1 1 1 1 ∴OG= AB= a,CG= BC= b. 2 2 2 2 1 ∴BG= b. 2 又∵OG∥AF,∴∠OGB=∠GBF,∠GOF=∠F. OG EG ∴△OGE∽△FBE.∴ = . FB EB 1 1 a b-BE OG BG-BE 2 2 ∴ = ,即 = . FB BE c BE bc ∴BE= . a+2c

返回

2

2.证明等积线段或成比例线段[例2] 如图，已知：在△ABC中，

AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F. 求证：FD2=FB· FC. [证明] 连接AF,

返回

2

∵FE 是 AD 的垂直平分线， ∴FA=FD, ∠FAD=∠3, 又∵∠FAD=∠2+∠4,∠3=∠1+∠B, 且∠1=∠2,∴∠B=∠4. 又∵∠AFB=∠CFA, ∴△ABF∽△CAF. FA FC ∴ = .∴FA2=FB· FC. FB FA 又∵FD=FA(已证),∴FD2=FB· FC.

返回

2

3.利用相似三角形证明线段相等 [例3] 如图，AD、CF是△ABC的两条 高线，在AB上取一点P,使AP=AD,再从

P点引BC的平行线与AC交于点Q,试说明PQ=CF.

返回

2

[解]

∵AD、CF 是△ABC 的两条高，

∴∠ADB=∠BFC. 又∠B=∠B,∴△ABD∽△CBF. AD AB ∴ = .又∵PQ∥BC, CF CB ∴∠APQ=∠B,∠AQP=∠C, ∴△APQ∽△ABC, PQ AP AP AB AD AP ∴ = ,∴ = ,∴ = . BC AB PQ BC CF PQ 又∵AP=AD,∴CF=PQ.

返回

2

构造出平行关系或作一定的辅助线是解此类问题的关

键，利用成比例或一些特殊的图形形状是常用的构造平行关系的方法.

返回

2

[例 4]

如图，已知梯形 ABCD 中，AD∥

BC,BD、AC 交于 O 点，过 O 的直线分别交 AB、CD 于 E、F,EF∥BC,AD=12 cm,BC OD AD =20 cm, = . OB BC 求 EF 的长.

返回

2

[解]

∵AD∥BC,EF∥BC,

∴EF∥AD. OD AD ∵ = ,AD=12 cm,BC=20 cm, OB BC OD 12 3 OB 5 ∴ = = ,∴ = , OB 20 5 BD 8 OE OB 5 ∴ = = , AD BD 8 5 5 15 ∴OE= ×AD= ×12= (cm), 8 8 2 3 3 15 同理：OF= ×BC= ×20= (cm). 8 8 2 ∴EF=OE+OF=15(cm).

返回

2

[例 5]

已知：在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，过点

C 任作一直线与边 AB 及 AD 分别交于点 F、E.

BD 1 AE 3AF (1)如图(1),当 = 时，求证： = ; DC 2 ED 2FB BD m AE AF (2)如图(2),当 = 时，猜想： 与 之间是否存 DC n ED FB 在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系 式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由.

返回

2

[解]

(1

)证明：过点 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点，

AE AF ∴ = . ED FG BD 1 2 又 = ,∴DC=2BD= BC. DC 2 3 FG DC 2 ∵DG∥FC,∴ = = , BF BC 3 2 AE AF 3AF ∴FG= BF,∴ = = . 3 ED 2 2BF BF 3

返回

2

BD m AE m+n AF (2)当 = 时，有关等式： = · . DC n ED n FB 证明：过 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点. AE AF ∴ = . ED FG BD m BC m+n 又∵ = ,∴ = . DC n DC n BF BC m+n ∵DG∥FC,∴ = = , FG DC n n ∴FG= BF, m+n m+n AF AE AF ∴ = = · . ED n n BF BF m+n

返回

2

(1)利用射影定理时，要注意射影定理的适用条 件. (2)射影定理在求解线段的长度、证明三角形相似、 线段成比例等问题中有非常广泛的应用. 返回