大学物理(上)课件-第05章振动和机械波7-4

时间：2025-01-11

注意：周期、频率与介质无关，与波源的相同。波在不同介质中频率不变。 4、波速u:波在介质中的传播速度。单位时间某种一定 u:的振动状态(或振动相位)所传播的距离称为波速 u,也称之相速。机械波的波速决定于介质的惯性和弹性，因此，不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。机械波的传播速度完全取决于介质的弹性模量和介质的密度。弹性模量波速=媒质密度Fρl61

1 (1)对于柔软的绳索和弦线中横波波速为 u t=; F为绳索或弦线中张力;ρl为质量线密度

E u= 2 (2)细长的棒状媒质中纵波波速为ρρ为质量密度 E为媒质的杨氏弹性模量;

(3)各向同性均匀固体媒质横波波速 4 (4)液体气体中纵波波速 u= 5. T、ν、λ、 u的关系Kρ

G u=ρ

λ——表示波在空间的周期性

λ 1ν=, u==λν T T

通过波速 u联系起来62

ν——表示波在时间上的周期性

5.4.2 平面简谐波的波函数

若波源作简谐振动, 在波传到的区域, 媒质中的质元均作简谐振动，称为简谐波。

人们用波函数描述波，波函数应能描述波在空间任一

点、任一时刻的位移。

y=f(x,t)

这个函数表达式也叫做波动方程。

在波函数中，若x固定了，得到什么方程？振动方程哪个质点的振动方程？在x位置上的质点的振动方程

1)右行波平面简谐波沿 x轴正向传播，波速为 u。

2)左行波平面简谐波沿x轴负向传播，波速为 u。

X64

. 1.已知Q点(x0)的振动方程 y= A cos(ω t+ 0 )

x x0 y= A cos[ω ( t )+ 0] u P点的振动比Q点落后一段时间 t y u

则右行波的波动方程为：

x - x0 t= u

Q x0

x - x0相位落后 =ω t=ω uP点的振动方程为：

x x0 yP= A cos(ωt+ 0 )= A cos[ω(t )+ 0] u65

则左行波的波动方程为：

x x0 y= A cos[ω ( t+ )+ 0] uP点的振动比Q点超前一段时间 t

x - x0 t= u

yOQ x0

x - x0相位超前 =ω t=ω u P点的振动方程为：

x x0 yP= A cos(ωt+ 0+ )= A cos[ω(t+ )+ 0] u66

结论：结论：在传播方向上，各质点的相位依次落后。这是。波动的一个基本特征。落后相位 =ω ( x x 0 ) u= 2π ( x - x 0 )λ,波长λ标志着波在空间上的周期性。

2.若x0=0,即已知O点的振动方程 y= A cos(ω t+ 0 )

x则右行波的波动方程为： y= A cos[ω ( t )+φ 0] u x则左行波的波动方程为： y= A cos[ω ( t+ )+φ 0] u. 3.若O点为波源时的波函数波源的振动方程为： y= A cos(ω t+ 0 ) O此时波动向O点左右两边传播，则波函数为：

| x| y( x, t )= A cos[ω (t )+ 0] u68

. 4.

若已知的是某平面简谐波在 t=t0时刻的波形图，可根据波形图求出某点( x0)在t0时刻的位相 t0则该点的振动方程为： y= A cos[ω ( t t 0 )+ t 0]

y y= f ( x, t 0 )

u x

o右行波的波函数为：

x x0 y= A cos[ω ( t - t 0 )+ t0] u左行波的波函数为：

x x0 y= A cos[ω ( t - t 0+ )+ t0] u

波函数的物理意义 1.对于给定的位置座标点的振动式：

x - x0 y ( x, t )= A cos[ω (t )+ 0] u

x= x p,波动式就成为该处质 x p x0 u)+ 0]

y ( x p, t )= A cos[ω ( t

2.对于给定时刻 t= t 0,位移 y为座标 x的函数，波动式就是

x - x0该时刻的波形曲线，即： y ( x, t 0 )= A cos[ω (t 0 )+ 0] u 波形沿u方向以波速u前进(行波)

u t

若x和t都是变量，那么波动式描述了在波的传播方向上x处质点在t时刻的位移。

注意：（a）y与x的区别

(b)波的传播速度u与质点振动速度v的区别

与波动方程相关的几种题型：Ⅰ已知 y ( x, t ),求：与波相关的物理量； .①②任一给定点 x0的振动方程；③ x0处质点在 t0时刻的速度、加速度；④画 t0时刻的波形曲线。解法：①将y(x,t)改写为标准式，参量比较法定物理量。 x y(x,t), y(x,t)即为振动方程。②将x0的值代入y(x,t), y(x,t),得到y(x0,t) y 2y③ .求出 v=及a=后将 x 0, t 0值代入。 2 t t y(0,0) v(0,0) u x=0④先确定y(0,0) y(0,0)的值和v(0,0) v(0,0)的正负，再由u的方向，定x=0 x=0处曲 t=0线的弯曲方向，进而由λ的大小，画出t=0 t=0波形曲线并平移。72

Ⅱ.已知 x0点振动的ω(或 T )及初始条件和波的传播方向，求 y ( x, t )解法：①先由初速条件求出A、 0,继而得到 y ( x0, t ); x - x0②由 u的方向，将 t→ ( t ),得到 y ( x, t ) u

. t,(如t=0)的波形曲线及波速，求y(x,t) y(x,t)Ⅲ.已知某时刻t0,( t0=0)

解法：①先由波形图确定各质点振动方向及 A、λ;②设 y (0, t )= A cos(ωt+ ),由波形图的 y (0, t0 )大小及 v(0, t0 )正负，定出 (ωt 0+ ); u③ .将求得的值及ω (= 2π )代回 y ( 0, t ),再由 u得到 y ( x73t ),λ

例1.已知波函数

y= 2×10 cos(400πt 20πx ) m

求：A、ν、λ、u。

t x + 解：由 y= A cos 2πν u t x m 3 y= 2× 10 cos 400π 20

A= 2× 10 3 m2πν= 400π, 1 1 T== sν 200

u= 20m/sν= 200 Hz

1λ= uT= 20×= 0 . 1m 200

例2.原点O振动方程为波速

y= 6× 10 sin 800πt