南通市2015届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1． 设集合A {3，m}，B {3m，3}，且A B，则实数m的值是

【答案】0

2． 已知复数z (1

i)(1 2i)(i为虚数单位)，则z的实部为．

【答案】3

|x|≤1,3． 已知实数x，y满足条件 则z 2x+y的最小值是 ▲ ．

|y|≤1,

【答案】 3

4． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]

75) 中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，

（第4题）

（第5题）

【答案】1000

5． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为

【答案】 4

6． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为

【答案】

4

9

2

2

y2

7． 在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x 8y的焦点，则F到双曲线x 1的渐近线

9

的距离为 ▲ ．

【答案 8． 在等差数列{an}中，若an+an+2 4n+6（n∈N*），则该数列的通项公式an ．

【答案】2n+1

9． 给出下列三个命题：

①“a＞b”是“3a＞3b”的充分不必要条件； ②“α＞β”是“cosα＜cosβ”的必要不充分条件；

③“a 0”是“函数f(x) x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件． 其中正确命题的序号为 【答案】③

10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积

V 3． 【答案

】1

（第10题）

C

（第11题）

11． 如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交

AD于点F．若P为劣弧EF上的动点，则PCPD的最小值为

【答案

】5 2x3 3x2 m，0≤x≤1，

12． 已知函数f(x) 若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，

mx 5， x＞1.

则实数m的取值范围为 ▲ ．

【答案】（ 5，0）

13．在平面直角坐标系xOy中，过点P（ 5，a）作圆x2+y2 2ax+2y 1 0的两条切线，切点分别

为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且

【答案】3或

24

3y 10，则xy的取值范围为 xyy2 y1x1 x2 2

0，则实数a的值为 ▲ ． x2 x1y1 y2

14．已知正实数x，y满足x

8

【答案】[1，]

3

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、 ．．．．．．．

证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形． （1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1； （2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，

求证：DE∥平面ABC1．

解：（1）因三棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，

16．（本小题满分14分）

已知函数f(x) Asin( x )（其中A， ， 为常数，

（第15题）

1

故B1C⊥BC1． 又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，

故B1C⊥平面ABC1．

1 因B1C 平面BCC1B1，

2分

5分

故平面ABC1⊥平面BCC1B1．

（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE． 又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB． 因DF 平面ABC1，AC1 平面ABC1，

（第15题答图）

7分

故DF∥面ABC1． 10分 同理，EF∥面ABC1．

因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，

故平面DEF∥面ABC1． 12分 因DE 平面DEF，

故DE∥面ABC1． 14分

且A＞0， ＞0， ＜ ＜）的部分图象如图所示．

22

（1）求函数f(x)的解析式； （2）若f( )

3

，求sin(2 )的值．

62

解：（1）由图可知，A 2，

17．（本小题满分14分）

T 2 ，故 1，所以，f(x) 2sin(x )． 又f(

2分 4分

2 2

) 2sin( ) 2，且 ＜ ＜，故 ． 33226

7分 9分 12分 14分

于是，f(x) 2sin(x )．

6（2）由f( )

33

，得sin( ) ．

642

所以，sin(2 ) sin 2( ) cos 2( )

662 6

1

=1 2sin2( ) ．

68

x2y2

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2 2 1(a＞b＞0)的两焦点分别为F1

(0)，

ab

F2

0)，且经过点

1

)． 2

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直

线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2 k3k4． ①求k1k2的值； ②求OB2+OC2的值．

解：（1）方法一

（第17题）

依题意，c

a2 b2+3， 1

3322

1由2，解得b 1(b ，不合，舍去)，从而a2 4． 2

b 3b4

2分

x2

故所求椭圆方程为： y2 1．

4

离心率e

方法二

5分

由椭圆的定义知，2a

4，

即a 2． 又因c

b2 1．下略．

（2）①设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D( x1， y1)，

2x2x12

22

y2 y1y2 y1y2 y1(1 ) (1 )1

于是k1k2 2 ． 2

x2 x1x2 x1x2 x12x2 x124

2分

8分

②方法一

1

由①知，k3k4 k1k2 ，故x1x2 4y1y2．

4

2

x12x222

) x12x2所以，(x1x2) ( 4y1y2)，即(x1x2) 16(1 )(1 ) 16 4(x12 x2，

44

222

2

所以，x12 x2 4． 11分

22

x12x2x12 x22222

y12 y2 1． 又2 ( y1) ( y2) ，故y12 y2

444

22

所以，OB2+OC2 x12 y12 x2 5． y2

14分

方法二

1由①知，k3k4 k1k2 ．

4

4x2

将直线y k3x方程代入椭圆 y2 1中，得x12 ．

1 4k324

2

同理，x2

9分

4

． 2

1 4k4

2 所以，x12 x2

4444

4． 11分 2

1 4k321 4k41 4k321 4( 1)2

4k3

下同方法一．

18．（本小题满分16分）

为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧PQ上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB

长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过．．．．200 m．

（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？

（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=2 ，试将运动休闲

区ABCD的面积S表示为 的函数，并求出S的最大值．

200]， 解：（1）设OA m，OB n，m，n (0，

B Q

在△OAB中，AB2 OA2 OB2 2OA OB cos

2

， 3

（第18题）

即2 m2 n2 mn， 2分 4分

(m n)23

所以， (m n) mn≥(m n) (m n)2，

44

2

2

2

所以m n≤100，当且仅当m=n=50时，m n取得最大值，此时△OAB周长取得最大值． 答：当OA、OB都为50 m时，△OAB的周长最大． （2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD

为等腰梯形． 过O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E， 则E、F分别为AB，CD的中点，

所以 DOE ，由CD≤200，得 (0 ]．

6OF 200cos ． 在△ODF中，DF 200sin ，

Q

6分

8分

（第18题答图）

又在△AOE中，OE OAcos

25，故EF 200cos 25． 3

10分

1

所以，S 400sin )(200cos 25)

2

8sin )(8cos 1)

8sin 64sin cos ， (0 ]．

6

12分

（一直没有交代范围扣2分）

令f( ) 8sin 64sin cos ， (0 ]，

6

f ( ) 8cos 64cos2 16sin( ) 64cos2 ， (0 ]，

66

又y= 16sin( )及y=cos2 在 (0 ]上均为单调递减函数，

66

故f ( )在 (0 ]上为单调递减函数．

6

1

4 )＞0，故f ( )＞0在 (0因f () ]上恒成立，

626

于是，f( )在 (0 ]上为单调递增函数．

6

14分

所以当 答：当

时，f( )有最大值，此时S

有最大值为625(8 ． 6

时，梯形ABCD

面积有最大值，且最大值为625(8 m2． 16分 6

19．（本小题满分16分）

2

an1

已知数列{an}，{bn}中，a1=1，bn (1 2) ，n∈N ，数列{bn}的前n项和为Sn．

an 1an 1

（1）若an 2n 1，求Sn；

（2）是否存在等比数列{an}，使bn 2 Sn对任意n∈N*恒成立？若存在，求出所有满足条件

的数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；

（3）若a1≤a2≤ ≤an≤ ，求证：0≤Sn＜2．

2分 4分

113

解：（1）当an 2n 1时，bn (1 ) n n 2．

422

31

所以，Sn (1

82

133

) n 2． n 1242

（2）满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=( 1)n 1． 证明：在bn 2 Sn中，令n=1，得b3=b1． 设an=qn 1，则bn=(1 由b3=b1，得(1

11

)． q2qn

6分

1111) (1 )． q2q3q2q

若q= 1，则bn=0，满足题设条件．此时an=1和an=( 1)n 1． 8分 若q 1，则

11

，即q2 =1，矛盾． 3qq

综上，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=( 1)n 1． 10分

2

anan

（3）因1=a1≤a2≤ ≤an≤ ，故an＞0，0＜≤1，于是0＜2≤1．

an 1an 12

an1

所以，bn (1 2) ≥0，n 1，2，3， ．

an 1an 1

所以，Sn b1+b2+ +bn≥0． 13分

2

aaan11

又，bn (1 2) (1 n)(1 n)

an 1an 1an 1an 1an 1

(1

an1a111

)( ) n≤2( )． an 1anan 1an 1anan 1

1111

) 2( ) a1a2a2a3

2(

11

) anan 1

故，Sn b1+b2+ +bn≤2(

2(

111 ) 2(1 )＜2． a1an 1an 1

所以，0≤Sn＜2．

16分

20．（本小题满分16分）

已知函数f(x) a

1

． lnx（a∈R）

x

（1）若a=2，求函数f(x)在(1，e2)上的零点个数（e为自然对数的底数）； （2）若f(x)恰有一个零点，求a的取值集合；

（3）若f(x)有两零点x1，x2(x1＜x2)，求证：2＜x1+x2＜3ea 1 1．

解：（1）由题设，f (x)

1 x

，故f(x)在(1，e2)上单调递减． 2x

2分

所以f(x)在(1，e2)上至多只有一个零点． 又f(1)f(e2) 1 ( （2）f (x)

1

)＜0，故函数f(x)在(1，e2)上只有一个零点． 4分 2e

1 x

，令f (x) 0，得x 1． x2

)上单调递减； 当x＞1时，f (x)＜0，f(x)在(1，

当0＜x＜1时，f (x)＞0，f(x)在(0，1)上单调递增，

故[f(x)]max f(1) a 1． ①当[f(x)]max 0，即a 1时，因最大值点唯一，故符合题设； ②当[f(x)]max＜0，即a＜1时，f(x)＜0恒成立，不合题设； ③当[f(x)]max＞0，即a＞1时，一方面， ea＞1，f(ea)

6分 8分

1

＜0； ea

另一方面， e a＜1，f(e a) 2a ea≤2a ea＜0(易证：ex≥ex)， 于是，f(x)有两零点，不合题设．

综上，a的取值集合为{1}． 10分 （3）证：先证x1+x2＞2． 依题设，有a 记

x xx11

lnx1 lnx2，于是21 ln2． x1x2x1x2x1

x2t 1t 1

t，t＞1，则lnt ，故x1 ． x1tx1tlnt

t2 1

2( lnt)

t2 1于是，x1+x2 x1(t+1) ，x1+x2 2 ．

lnttlnt

x2 1

记函数g(x) lnx，x＞1．

2x

(x 1)2

)上单调递增． 因g (x) ＞0，故g(x)在(1，

2x2于是，t＞1时，g(t)＞g(1) 0．

又lnt＞0，所以，x1+x2＞2． 13分 再证x1+x2＜3ea 1 1．

因f(x) 0 h(x) ax 1 xlnx 0，故x1，x2也是h(x)的两零点． 由h (x) a 1 lnx 0，得x ea 1(记p ea 1)．

h(p)＞0，

仿（1）知，p是h(x)的唯一最大值点，故有

x＜p＜x. 12

2(x p)(x p)2

lnp，则h (x) 作函数h(x) lnx ≥0，故h(x)单调递增． x px(x p)2

故，当x＞p时，h(x)＞h(p) 0；当0＜x＜p时，h(x)＜0．

于是，ax2x1 1 x1lnx1＜

1(x1 p)

xp

x1lnp．

1 整理，得(2 lnp a)x21 (2p ap plnp 1)x1 p＞0， 即，x211 (3ea 1 1)x1 ea ＞0．

同理，x2

12 (3ea 1)xa 12 e＜0．

故，x2a 1 12 (3ea 1 1)x2 e＜x21 (3ea 1)x1 ea 1，

(x2 x1)(x2 x1)＜(3ea 1 1)(x2 x1)，

于是，x1 x2＜3ea 1 1．

综上，2＜x1+x2＜3ea 1 1． 分

16

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4 1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，

AH⊥PB于H．

证：连AC，AB．

B．[选修4 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

因BC为圆O的直径，故AC⊥AB． 又AH⊥PB，故AH2 CH·HB，即

（第21（A）题）

求证：PA·AH PC·HB．

AHHB

．

CHAH

5分

因PA为圆O的切线，故∠PAC ∠B． 在Rt△ABC中，∠B+∠ACB 0°． 在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB 0°． 所以，∠HAC ∠B． 所以，∠PAC ∠CAH， 所以，所以，

（第21（A）题答图）

PCPAAHPA

，即．

CHAHCHPC

PAHB

，即PA·AH PC·HB．

PCAH

10分

01

，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵M 1

0 2 点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A ，B ，C ，求△A B C 的面积．

2

0 0 2 0 1

解：因M ，M ，M 1，

0 0 0 1 2

2

1

即A (0，0)，B (0， 1)，C (2， )． 6分

2

1

故S A B 2 1． 10分

2

C．[选修4 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

x rcos ，

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （ 为参数，r为常数，r＞0）．以

y rsin ，

原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程

为

cos( ) 2 0．若直线l与曲线C交于A，B

两点，且AB ，求r的值．

4

解

cos( ) 2 0，得 cos sin 2 0，

4

即直线l的方程为x y 2 0． 3分 x rcos ，由 得曲线C的普通方程为x2 y2 r2，圆心坐标为(0,0)， 6分 y rsin ，

所以，圆心到直线的距离d

AB ，则r 2． 10分

D．[选修4 5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：

14936

． ≥

a bb cc da d

证：因a＞b＞c＞d，故a b＞0，b c＞0，c d＞0．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 ．．．．．．． 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1 2AB． （1）求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值；

（2）点E在侧棱AA1上，若二面角E BD C1AE

求的值． AA1

AD49 12 故[(a b) (b c) (c d)] ≥(1 2 3) 36， 6分 a bb cc d

所以，

14936

． 10分 ≥

a bb cc da d

C1 1

（第22题）

C

解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示空间直角坐标系D xyz． 设AB 1，则D（0，0，0），A（1，0，0）， B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），

A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）．

（1）设AD1与面BB1D1D所成角的大小为 ，

2分

AD1 ( 1，， 0 2)，

设平面BB1D1D的法向量为n （x，y，z），

DB (1,1,0)，DD1 (0,0,2)，则n DB 0,n DD1 0，即x y 0,z 0． 1， 0)，sin |cos AD1,n | |令x 1，则y 1，所以n (1，

AD1 n|AD1||n|

|

，

所以AD1与平面BB1D1D（2）设E(1，0， )，0≤ ≤2．

． 6分

设平面EBD的法向量为n1 （x1，y1，z1），平面BDC1的法向量为n2 （x2，y2，z2），

DB (1， 1， 0)， DE (1，， 0 )，

由n1 DB 0，n1 DE 0，得x1 y1 0,x1 z1 0， 令z1 1，则x1 ,y1 ，n1 ( , ,1)，DC1 (0,1,2)， 由n2 DB 0，n2 DC1 0，得x2 y2 0，y2 2z2 0， 令z2=1，则x2=2，y2= 2，n2 (2, 2,1)，cos n1,n2

n1 n2 ，

|n1||n2|

AE1

． ，得 1．所以

AA21

10分

23．（本小题满分10分）

袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn．

（1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)； （2）求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．

C1C1933

当X2 3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P(X2 3) 1 1 ；

C8C864

11C1C1353C55C4

当X2 4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P(X2 4) 11 11 ；

C8C8C8C8641C155C4

当X2 5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P(X2 5) 11 ．

C8C816

解：（1）由题意可知X2 3，4，5．

3分

所以随机变量X2的概率分布如下表：

9355267

数学期望E(X2) 3 4 5 ． 5分

64641664

（2）设P(Xn 3+k) pk，k 0，1，2，3，4，5．

则p0+p1+p2+p3+p4+p5 1，E(Xn) 3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5．

3544536

P(Xn+1 3) p0，P(Xn+1 4) p0+p1，P(Xn+1 5) p1+p2，P(Xn+1 6) p2+p3，

8888888

2718

P(Xn+1 7) p3+p4，P(Xn+1 8) p4+p5， 7分

8888

所以，E(Xn+1)

35445362718 p0+4×(p0+p1)+5×(p1+p2)+6×(p2+p3)+7×(p3+p4)+8×(p4+p5)

88888888888

293643505764 p0+p1+p2+p3+p4+p5 8888887

(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5 87

E(Xn)+1． 9分 8

7

由此可知，E(Xn+1) 8 (E(Xn) 8)．

8

35357

又E(X1) 8 ，所以E(Xn) 8 ()n 1． 10分

888