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6.3特殊的平行四边形(3)

菱 形

情 景 创 设

前面我们学习了平行四边形 和矩形，知道了如果平行四边形 有一个角是直角时,成为什么图形?(矩形,由角变化得到)

如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊的四边形呢?

在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅 改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程 中，哪些关系没变？哪些关系变了？平行四边形 邻边相等菱形

如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么 这个平行四边形成为怎样的四边形？

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形AB=BC ABCD

.

四边形ABCD是菱形

让我们一同走进生活中的菱形

2000多年前……

一把埋藏在地下的古剑，出土时 依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无 比，稍一用力，便可将多层白纸划 破，剑身上整齐排列着黑色菱形暗 花纹——越王勾践剑

菱形就在我们身边

(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗? 它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?

A B D

菱形是轴对称图形(2)从图中你能得到哪些 结论?并说明理由.提示:从边、角、对角线、 面积等方面来探讨

C

菱形的性质： 符号语言边形的所有性质.

∵四边形ABCD是菱形 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 ∴AB=BC=CD=AD由于平行四边形的对边相等， 而菱形的邻边相等， 故： 菱形的性质1: 菱形的四条边都相等。 又：

A B

D

菱形的性质2:菱形的两条对角线互相垂 直，并且每一条对角线平 分一组对角。

C

命题：菱形的对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角；已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,如下图，求证：AC⊥BD ;AC平分∠BAD和∠BCD ;BD平分∠ABC和∠ADC

证明：∵四边形ABCD是菱形 符号语言 ∴AB=AD(菱形的四条边都相等) ∵四边形ABCD是菱形 在△ABD中， ∴ AC⊥BD 又∵ AC平分∠ BADBO=DO 和∠BCD ; B ∴AC⊥BD, AC 平分∠ BAD BD平分∠ABC和∠ADC

A

D

OC

同理： AC平分∠BCD; BD平分∠ABC和∠ADC

D

边

菱形的两组对边平行且相等 A

O B 数学语言

C

菱形的四条边相等

菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形

角

菱形的邻角互补

DCA= ∠ BCA ∠∠ ADC= ∠ ABC ∥ CD AB ∠ADB= ∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线

∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =

=

菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。

【菱形的面积公式】A B 菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗? D

菱形O EC

S菱形=BC●AE么

思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 为 什 用对角线能 计算菱形的面积公式吗?

S菱形ABCD=S△ABD+S△BCD=

1 AC×BD 2

面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半

?

1、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别 是6cm和8cm,求菱形的面积。D A O B C

S菱形 ABCD

1 AC BD 2

24

D O

A

C

B

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O

(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相 等的？ (2)有哪些特殊的三角形？

已知四边形ABCD是菱形相等的线段： AB=CD=AD=BC5

A1 2

7

D8

O6 3 4

OA=OC OB=OD

B

C

∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角：

∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8

等腰三角形： △ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形： Rt△AOB Rt△BOC Rt△CODRt△DOA 全等三角形：Rt△AOB≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA

△ABD≌△BCD

△ABC≌△ACD

A

D

1.已知菱形的周长是12cm,那 O 3cm 么它的边长是______. C B 2.菱形ABCD中∠ABC=60度， D 60度 则∠BAC=_______. 3 3、菱形ABCD中∠BAD=60度， A4 O 若BD=6cm,则菱形的边长是(C )( ) B.7cm A.10cm C. 5cm D.4cmA

C

4.在菱形ABCD中，AE⊥BC,AF⊥CD, E、F分别为BC,CD的中点，那么 B ∠EAF的度数是( )BA.75°B.60°C.45°D.30°E

BD F

C

5、菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为 6cm,则另一条对角线长为 _____

想一想我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定 时，我们首先想到的第一种方法是什么？ 那么类比着它们，菱形的第一种判定方法 是什么？根据定义得：A D

一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在 ABCD中, AB AD ABCD是菱形.B 还有什么方法吗? C

命题：有四条边相等的四边形是菱形。已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形 D 证明： ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形A C

又∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形

B