[导学教程]【北师大版】2012届高三二轮复习数学(理)专题七 选修部分课时训练

一、选择题

1．极坐标方程ρ－1＝0(ρ≥0)表示的图形是 A．一条直线 C．一个圆

B．一条射线 D．半圆

解析 由ρ－1＝0得ρ2＝1化为直角坐标方程为x2＋y2＝1， 又ρ≥0，故表示半圆． 答案 D

x＝1＋cos θ

2．参数方程 (θ为参数)所表示的图形是

y＝－2＋sin θA．直线 C．圆

B．射线 D．半圆

解析 把参数方程化为普通方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝1.故参数方程表示圆． 答案 C

y＝sin θ

3．已知曲线 11(θ为参数)与直线x＝a有两个不同的公共点，则实数a的取值

x＝θ 22范围是

A．a≥1 1

C.2≤a≤1

B．0＜a≤1 D．0≤a≤1

y＝sin θ

解析 11(θ为参数)为抛物线y2＝x(0≤x≤1)，借助图象(如图)观察易得0＜a≤

1.

x＝－cos 2θ 22

答案

B

4．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A、B两点，则|AB|等于

A．23 C．2

3 D．1

解析 曲线ρ＝4cos θ可转化为(x－2)2＋y2＝4，则圆心(2,0)到直线x＝3的距离是1，所以|AB|＝24－1＝23.

答案 A

t

x＝2＋ 2

5．(2011·中山模拟)设直线的参数方程为 3y＝3－ 2的三角形周长是

A．310

(t为参数)．这条直线与两坐标轴所围成

B．14 D．12＋6

C．12＋310

xy

解析 把参数方程消去t整理得直线的截距式方程为391， 故所求的周长为3＋93＋9＝12＋310. 答案 C

π

6．(2011·安徽)在极坐标系中，点 2，3 到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为

A．2

B.

4＋91＋9

D.3

π

解析 极坐标系中的点 2，3化为平面直角坐标系中的点为(13)；极坐标系中的圆ρ＝2cos

θ化为平面直角坐标系中的一般方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1,0)．

∴所求两点间的距离为 1－1 2＋3－0 23. 答案 D

二、填空题

7．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－3)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ＞0，－π＜θ＜0)可写为________．

5π

解析 由题意知，ρ＝3，θ6. 5π

23，－答案 6

8．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ所表示的曲线的直角坐标方程是________．

解析 由ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得曲线的直角坐标方程为x2＋y2－2x－y＝0. 答案 x2＋y2－2x－y＝0

x＝tcos α， x＝4＋2cos φ，

9．直线 (t为参数)与圆 (φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α ＝

y＝tsin α y＝2sin φ________.

解析 直线：y＝x·tan α，圆：(x－4)2＋y2＝4，如图，

21π5

sin α＝4＝2，∴α＝6或6π. π5答案 66 三、解答题

x＝－1＋2cos θ

10．已知直线l：3x＋4y－12＝0与圆C： (θ为参数)，试判断它们的公共点

y＝2＋2sin θ个数．

解析 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4， 其圆心为C(－1,2)，半径为2. 由于圆心到直线l的距离d＝

|3× －1 ＋4×2－12|7

＝5＜2， 3＋4

故直线l与圆C的公共点个数为2.

x2y2

11．求椭圆ab1(a＞0，b＞0)的内接矩形的最大面积．

解析 设内接矩形在第一象限内的顶点为P(acos θ，bsin θ)，P点在两轴上的投影分别为A、B，则S内接矩形＝4S矩形OAPB＝4·acos θ·bsin θ＝2absin 2θ.

π

因为θ∈ 0，2，所以2θ∈(0，π)，

故S内接矩形的最大值为2ab.

x＝cos φ，

12．(2011·辽宁)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (φ为参数)，曲

y＝sin φ x＝acos φ，

线C2的参数方程为 (a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极

y＝bsin φ π

坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝2时，这两个交点重合．

(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；

ππ

(2)设当α＝4时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1.当α＝－4l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．

解析 (1)C1是圆，C2是椭圆．

当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.

π

当α＝2l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)， 因为这两点重合，所以b＝1.

x22

(2)C1，C2的普通方程分别为x＋y＝1和9y＝1.

2

2

π2310当α＝l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝4210π

当α＝－4时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．

2x′＋2x x′－x 2

故四边形A1A2B2B1的面积为＝5.

2