好用

式是从时间空间混合离散中导出的。该类格式中最流行的是MacCormack格式。 采用时空混合离散方法，其数值解趋近于定常时依赖于计算中采用的时间步长。尽管由时间步长项引起的误差与截断误差在数量级上相同，但这却体现了一个概念上的缺陷，因为在计算得到的定常解中引进了一个数值参数。将时间积分从空间离散中分离出来就避免了上述缺陷。常用的时空分别离散格式有中心型格式和迎风型格式。空间二阶精度的中心型格式(一维问题是三点格式)就属于上述范畴。该类格式最具代表性的是Beam-Warming隐式格式和Jameson等人采用的

Runge-Kutta时间积分方法发展的显式格式。迎风型差分格式共同特点是所建立起的特征传播特性与差分空间离散方向选择的关系是与无粘流动的物理特性一致的。第一个显式迎风差分格式是由Courant等人构造的，并推广为二阶精度和隐式时间积分方法。基于通量方向性离散的Steger-Warming和Van Leer矢通量分裂方法可以认为是这类格式的一种。该类格式的第二个分支是Godunov方法，该方法在每个网格步求解描述相邻间断(Riemann问题)的当地一维Euler方程。根据这一方法Engquist、Osher和Roe等人构造了一系列引入近似Riemann算子的格式，这就是著名的通量差分方法。

对于没有大梯度的定常光滑流动，所有求解Euler方程格式的计算结果都是令人满意的，但当出现诸如激波这样的间断时，其表现确有很大差异。绝大多数最初发展起来的格式，如Lax-Wendroff格式中心型格式，在激波附近会产生波动。人们通过引入人工粘性构造了各种方法来控制和限制这些波动。在一个时期里，这类格式在复杂流场计算中得到了应用。然而，由于格式中含有自由参数，对不同问题要进行调整，不仅给使用上带来了诸多不便，而且格式对激波分辨率受到影响，因而其在复杂流动计算中的应用受到了一定限制。

另外一种方法是力图阻止数值波动的产生，而不是在其产生后再进行抑制。这种方法是建立在非线性限制器的概念上，这一概念最初由Boris和Book及Van Leer提出，并且通过Harten发展的总变差减小(TVD, Total Variation Diminishing)的重要概念得以实现。通过这一途径，数值解的变化以非线性的方式得以控制。这一类格式的研究和应用，在20世纪80年代形成了一股发展浪潮。1988年，张涵信和庄逢甘利用热力学熵增原理，通过对差分格式修正方程式的分析，构造了满足熵增条件能够捕捉激波的无波动、无自由参数的耗散格式(NND格式)。该类格式在航空航天飞行器气动数值模拟方面得到了广泛应用。

1987年，Harten和Osher指出，TVD格式最多能达到二阶精度。为了突破这一精度上的限制引入了实质上无波动(ENO)格式的概念。该类格式“几乎是TVD”的，Harten因此推断这些格式产生的数值解是一致有界的。继Harten和Osher之后，Shu和Osher将ENO格式从一维推广到多维。J.Y.Yang在三阶精度ENO差分格式上也做了不少工作。1992年，张涵信另辟蹊径，在NND格式的基础上，发展了一种能捕捉激波的实质上无波动、无自由参数的三阶精度差分格式(简称ENN格式)。1994年，Liu、Osher和Chan发展了WENO(Weighted Essentially Non-Oscillatory)格式。WENO格式是基于ENO格式构造的高阶混合格式，它在保持了ENO格式优点的同时，计算流场中虚假波动明显减少。此后，Jiang提出了一种新的网格模板光滑程度的度量方法。目前高阶精度格式的研究与应用是计算流体力学的热点问题之一。

不可压缩流体力学数值解法有非常广泛的需求。从求解低速空气动力学问题，推进器内部流动，到水动力相关的液体流动以及生物流体力学等。满足这么广泛问题的研究，要求有与之相应的较好的物理问题的数学模型以及鲁棒的数值算法。

相对于可压缩流动，不可压缩流动的数值求解困难在于，不可压缩流体介质的密度保持常数，而状态方程不再成立，连续方程退化为速度的散度为零的方程。由此，在可压缩流动的计算中可用于求解密度和压力的连续方程在不可压缩流动求解中仅是动量方程的一个约束条件，由此求解不可压缩流动的压力称为一个困难。求解不可压缩流动的各种方法主要在于求解不同的压力过程。

目前，主要有两类求解不可压缩流体力学的方法，原始变量方法和非原始变量方法。求解不可压缩流动的原始变量方法是将Navier-Stokes方程写成压力和速度的形式，进行直接求解，这种形式已被广为应用。非原始变量方法主要有Fasel