数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答案

第3章

离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)

第3章 离散傅里叶变换(DFT)

及其快速算法(FFT)3.1 学习要点与重要公式3.2 频率域采样 3.3 循环卷积和线性卷积的快速计算以及信号的频谱分析 3.4 例题 3.5 教材第3章习题与上机题解答

3.6 教材第4章习题与上机题解答

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3.1 学习要点与重要公式3.1.1 学习要点(1) DFT的定义和物理意义， DFT和FT、 ZT之间的 关系； (2) DFT的重要性质和定理： 隐含周期性、 循环移 位性质、 共轭对称性、 实序列

DFT的特点、 循环卷积定理、 离散巴塞伐尔定理；(3) 频率域采样定理； (4) FFT的基本原理及其应用。

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3.1.2 重要公式1) 定义

X (k ) DFT[ x(n)] N

n 0N 1 k 0

N 1 kn x(n)WN

k=0, 1, …, N-1

1 x(n) IDFT[ X (k )] N N

X (k )WN kn

k=0, 1, …, N-1

2) 隐含周期性( kn X (k m N) x(n)WNk mN ) n x(n)WN X (k ) n 0 n 0 N 1 N 1

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3) 线性性质 若 y(n) ax1 (n) bx2 (n) ,则

Y (k ) DFT[ y(n)] aX1 (k ) bX 2 (k )4) 时域循环移位性质 DFT[ x(n m) N RN (n)] WN km X (k )

5) 频域循环移位性质nm DFT[WN x(n)] X ((k m)) N RN (k )

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6) 循环卷积定理循环卷积：

L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n)=h(n) L x(n) m 0

循环卷积的矩阵表示：x( L 1) x( L 2) yc (0) x(0) y (1) x(0) x( L 1) c x(1) yc (2) x(2) x(1) x(0) yc ( L 1) x( L 1) x( L 2) x( L 3) x(1) h(0) x(2) h(1) x(3) h(2) x(0) h( L 1)

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循环卷积定理： 若

yc(n)=h(n) L x(n)则 Yc(k)=DFT[yc(n)]L=H(k)X(k) 其中 k=0, 1, 2, …, L-1

H(k)=DFT[h(n)]L, X(k)=DFT[x(n)]L

6) 离散巴塞伐尔定理

1 N 1 2 x(n) N X (k ) n 0 k 02

N 1

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7) 共轭对称性质 (1) 长度为N的共轭对称序列xep(n)与反共轭对称序列 xop(n): xep (n) xep ( N n) xop (n) xop ( N n)

序列x(n)的共轭对称分量与共轭反对称分量：

1 xep (n) [ x(n) x ( N n)] 21 xop (n) [ x(n) x ( N n)] 2

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(2) 如果且 则 且

x(n)=xr(n)+jxi(n)X(k)=Xep(k)+Xop(k)

Xep(k)=DFT[xr(n)], Xop(k)=DFT[jxi(n)] (3) 如果x(n)=xep(n)+xop(n) X(k)=Xr(k)+jXi(k)

则

Xr(k)=DFT[xep(n)], jXi(k)=DFT[xop(n)](4) 实序列DFT及FT的特点: 假设x(n)是实序列，

X(k)=DFT[x(n)], 则 X(k)=X*(N-k) |X(k)|=|X(N-k)|, θ(k)=-θ(N-k)

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3.2 频 率 域 采 样我们知道， 时域采样和频域采样各有相应的采样定理。

频域采样定理包含以下内容:(1) 设 x(n)是任意序列， X(ejω)=FT[x(n)],对X(ejω) 等间隔采样得到

X N (k ) X (e )则

j

2π k N

k=0,1,2,3,…,N-1

x N (n) IDFT[ X N (k )]

n

x(n iN )R

N ( n)

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(2) 如果x(n)的长度为M, 只有当频域采样点数N≥M时， xN(n)=x(n), 否则

~ (n) xN

n

x(n iN )

会发生时域混叠， xN(n)≠x(n)。 通过频率域采样得到频域离散序列xN(k), 再对xN(k)进行 IDFT得到的序列xN(n)应是原序列x(n)以采样点数N为周期进行 周期化后的主值区序列， 这一概念非常重要。

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(3) 如果在频率域采样的点数满足频率域采样定理， 即采样点数N大于等于序列的长度M, 则可以用频率采样得到

的离散函数X(k)恢复原序列的Z变换X(z), 公式为

X ( z ) X (k ) k ( z )式中k 0

N 1

1 1 z N k ( z) k N 1 WN z 1上面第一式称为z域内插公式， 第二式称为内插函数。

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3.3 循环卷积和线性卷积的快速计算以及信号的频谱分析3.3.1 循环卷积的快速计算如果两个序列的长度均不很长， 可以直接采用循环卷积 的矩阵乘法计算其循环卷积； 如果序列较长， 可以采用快速 算法。 快速算法的理论基础是 …… 此处隐藏：2080字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……