清华大学考研辅导强化班课程1

清华大学考研辅导强

清华大学考研辅导强化班课程

《微积分》

清华大学数学系 刘坤林 主讲

本节课程内容： 1.1 函数与基本不等式

函数关系，定义域与值域，反函数与复合函数 四类初等性质（广义奇偶性） 1.2 极限定义与性质

序列与函数极限定义与等价描述

极限性质：唯一性，有界性，保号性及推论，比较性质 1.3 三个极限存在准则 1.4 两个标准极限 1.5 无穷小量比阶

等价无穷小量，同阶无穷小量与高阶无穷小量。 1.6 极限相关知识点

导数概念，变限积分，级数，微分方程，广义积分等。 1.7 连续函数

基本概念，定义，连续性与极限的关系， 连续性等价描述，连续性的判别 闭区间上连续函数的性质，零点定理， 最大最小值定理。

例15.设f（x）与Ψ（x）在（—∞,+∞）有定义，Ψ（x）在（—∞,+∞）有间断点，f（x）在（—∞,+∞）上连续，且f（x）≠0，则（ ） A．f〔Ψ（x）〕在（—∞,+∞）上必有间断点 B．Ψ〔f（x）〕在（—∞,+∞）上必有间断点 C． 2 x 在（—∞,+∞）上必有间断点

清华大学考研辅导强

D．

（x）

f（x）

在（—∞,+∞）上必有间断点

例16.设f∈（—∞,+∞）。limf（x）=0且至少存在一点x1∈（—∞,+∞）,使得f（x1）＞0，

x

证明：f（x）在（—∞,+∞）上有正的最大值

例17.设a1=a＞1，an 1

12

(an

a1an

)，（n=1,2, ）证明（1）lima存在

n

x

(2) (

n 1

anan 1

1)收敛

例18.若limx

e

1 cos

1n

1

tan(n )

12

k

a 0，则：A.k=2且a=

12

12

B.k=-2且a=

12

C. k=2且a= D k=-2且a=

例19.若limf(x)存在,则（）

x x0

A. x x

lim f(x)

=f(x0) B M＞0及x0之去心邻域U(x0, ),使当x∈U时，|f（x）|＜M

o

o

C. M＞0及x0之邻域U(x0, )，使当x∈U(x0, )时，|f（x）|＜M D. M＞0,|f（x）|＜M

f(x)

例.20.设f(x),g(x)定义在（-1，1），且都在x=0处连续。若

则（） A.

g（x）

........... x 0 x

2.................x 2

，

limg(x) 0且g(0) 0 B.limg(x) 0且g(0) 1

'

'

x 0x 0

清华大学考研辅导强

limg(x) 0C.limg(x) 1且g'(0) 0 D. x且'

x 0

0

g(0) 2

x2

例21.设当x→0时,e (ax bx 1)是比x

2

高阶的无穷小量,则（）

A.a=0.5,b=1 B.a=1,b=1 C.a=-0.5,b=1 D,a=-1,b=1

第2讲 导数定义与性质 要点与习题 2.1 导数定义

导数定义作为第3标准极限 应用技巧 2.2 导数性质

函数可导的充要条件，可微性概念，可导与连续的关系 2.3 微分与导数计算，高阶导数

2.4 导数的定号性与函数增减性，局部极值，凹凸性与拐点

本节课程内容：

例1. 设f（0）=0，则f（x）在点x=0处，可导的充要条件（） A. lim

1h

2

f(1 cosh)f(1 eh

)lim

1f(h sinh)h 0

存在 B. lim

1h 0

h

存在 C. h 0

h

2

存在lim

1h

f(2h)

f(h)h 0

存在

例2.若f'(a) k存在，则：lim

f(a h) f(a)

k

h 0

h

lim

f(a h) f(a)

h

k

h 0

lim

f(a h) f(a h)

2k

h 0

h

limh f(a 1) f(a)

h k h

D.

清华大学考研辅导强

例3.设f（x）可导，且满足条件lim

f(1) f(1 x)

2x

1，则曲线

x 0

y=f（x）在（1,f（1））处的

切线斜率为：（）A.2 B.-1 C.0.5 D.-2

例4.设〥＞0，f(x)在区间（-〥，〥）内有定义，若当x∈（-〥，〥）时，有|f(x)|≤x2,则x=0必是f（x）的（C）

(A) 间断点； (B) 连续而不可导的点

(C) 可导的点, 且f'(0) 0；(D) 可导的点, 且f'(0) 0

例5. 设曲线y x

2n

在点（1,1）处的切线与x轴交点为（λn，0），则lim e

n

nn

12

例6. 若二次曲线y ax2 bx c（0＜x＜1）将两条曲线

L1:y e( ＜x 0),L2:y

（y x2 x 1）

x

1x

(1 x＜ )连接成处处有切线的曲线，则该二次曲线为

例7.设f（x）在x=0点某领域内可导, 且当x≠0时,f（x）≠0，已知：f（0）=0，f'(0) 2则

1

lim(1 2f(x))sinx e

x 0

4

例8.设f(x)可导，F（x）=f（x）（1+|sinX|），若使F（x）在x=0处可导，则必有：（A） A.f(0)=0 B. f'(0) 0 C.f(0)+f’(0)=0 D. f(0)-f’(0)=0

例9.

设

1 cosx x 0

f(x) x2g(x)......x 0

，其中g（X）是有界函数。则f(x)在x=0处有（D）

(A) 极限不存在; (B) 极限存在, 但不连续 (C) 连续, 但不可导; (D) 可导

清华大学考研辅导强

例10.设

........x 0 arctan1x

f(x) ax b............x 0

在点x=0处可导，则（D）

A a=1 b=

2

. B a=1 b=0 C a=-1 b=-

2

Da=-1 b=

2

1n

例11.设f(x)在x=0某邻域内可导,且f(0)=1,

1

f(0) 2，求极限lim f

n

n

' 1 cos1

n

例12.设f(x)是（-1,1）内的连续奇函数，且lim

x 0

f(x)x

a

，则f(x)在x=0处的导数为(A)a; (B)-a; (C)0; (D)不存在.

1

例13.设在某U(0, )内f''(x)存在，已知lim 1 x

x 0

f(x) x2< …… 此处隐藏：6965字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……