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2019年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题（一） (2)

2019年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题（二） ... 7 2019年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题（三） . 12 2019年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题（四） . 17 2019年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题（五） . 22

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第 2 页，共 26 页 2019年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题

（一）

特别说明：

1-本资料为2019考研初试学员使用，严格按照该科目历年常考题型及难度仿真模拟；

2-资料仅供考研复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。 ————————————————————————————————————————

一、证明下列各题

1． 设为m 个正数,证明:

【答案】设

,则

由于因此

2． 证明公式

【答案】

3． 证明下列命题:

（1）若f （x ）在[a ,b]上连续增,

则F （x ）为[a ,b]上的增函数.

（2）若f （x ）在上连续,且,则

为

上的严格增函数,

如果要使

在上为严格增,试问应补充定义？

【答案】（1）由f （x ）在[a ,b]上连续及洛必达法则,得

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因此F （x ）在x=a 点右连续,从而F （x ）在[a ,b]上连续,又当时,

根据积分中值定理,存在,

使

.所以

由f （x ）在[a ,b]上单调增,

得从而当

时,

故F （x ）为[a ,b]上的增函数. （2）由题设,可得

.因此

在

内可微,且

由知,函数（x-t ）f （t ）在

上非负,且不恒为零,所以,

从而

故_

为

内的严格增函数.因

所以补充,

使函数

成为上的连续函数,

再由,

可得

在上严格增.

4． 设函数

在

连续,并且

求证:存在,并且

【答案】

于是,有

把这些式子左右两边对应相加得

由于

在

连续,对

取极限,

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此即

存在,

且

5． 设

是曲面F （x ,y ,z ）=1的非奇异点,F

在

可微,且为n

次齐次函数.证明:此曲

面在P 0处的切平面方程为

【答案】由于F 为n 次齐次函数,且

F （X ,y ,z ）=1.故有

①

曲面在处的切平面方程为

即

②

而由①式知

故由②知曲面在P 0处的切平面方程为

故

6．

设f （x ,y ,z ）有连续的偏导数,作自变量变换:,它把函数f （x ,

y , z ）变成F （u ,v , w ）.证明

:

【答案】方法一对

t>0

,若将u ,v ,w

都换为tu ,tv , tw ,则相应地x ,y ,z 也换成了 tx ,ty ,tz ,即

在上式两边关于t 求导得

令t=1可得

方法二由f （x ,

y ,z ） =F （u ,v ,w ）,利用一阶微分形式的不变性可得

由变换式可知,

由此易知,当du=u ,dv=v ,dw=w 时,有

反之也如此,这表明结论成立.

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二、求解下列各题

7． 求函数u=xyz 在点A （5，1，2）处沿到点B （9，4，14）的方向

成上的方向导数.

【答案】，其方向余弦为

因为

故有

8． 求两椭圆

所围公共部分的面积.

【答案】如图所示,这两个椭圆是全等的,故所求面积是阴影部分面积的8倍.由方程组

与

解得两曲线在第一象限内的交点坐标为

,

于是,所围公共部分的面积为

图

9． 设是不含原点的有界区域,其体积为V ,边界为光滑的闭曲面,n 是的外法线单位向量,r= （x ,y ,z ）, f （x ）是

上的连续可微函数,它满足微分方程

.求

【答案】因为:r= （x , y ,z ）的单位向量为,其中

,的外法线单

位向量为

,

则

所以

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10．将函数展开为傅氏级数.

【答案】因为f （x ）是奇函数,所以

因为f （x ）逐段单调,所以