毕业论文——数学建模竞赛(全国二等奖论文)

时间：2025-05-10

毕业论文——数学建模竞赛(全国二等奖论文)

输油管的布置

摘要：针对两炼油厂到铁路线的距离和两炼油厂间的距离等各种不同情形，分析了车站与两炼油厂三者间的关系，建立了管道建设费用的数学模型。在问题一中，建立了四种不同情形下铺设管线费用最省的方案，利用费尔马点的相关性质，对共用管线与非共用管线的不同费用，建立了关于总费用的函数关系式。在问题二中，利用第一问建立的数学模型，结合问题二的题设，在计算城区管线附加费用时，利用求解加权平均数建立了新的函数关系式；在问题三中，根据实际需要，结合管线费用的不同，又建立了相应的函数关系式，解出了最省费用时管线的布置方案。

关键词：管道建设，最短距离，费尔马点

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要在铁路线的一侧建造两家炼油厂，同时在此铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，于是我们需要建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。

1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，建立管线建设的设计方案。在计算费用时，还要考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形；

2.两炼油厂的具体位置如图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。

若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元（铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用），要求设计管线布置方案及相应的费用；

注：聘请的三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）对此附加费用的估算结果如下表所示：

3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。设计出管线最佳布置方案及相应的费用。

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本文主要研究如何布置输油管及确定相应的车站位置，使得总建设费用最少。我们把两炼油厂及车站的连线看成一个三角形，当共用管线与非共用管线的价格相同时，要使建设费用最省，我们只要使得两炼油厂到车站的距离和最小。我们利用费尔马点及相关性质，针对两炼油厂到铁路线的距离和两炼油厂间距离的各种不同情形设计出了相应的费用最省的管道铺设方案。当共用管线与非共用管线的价格不同时，我们可以建立总费用（P）与管道接点到铁路线的距离（h）、管道接点到A炼油厂的距离（t）之间的一个函数关系式

P(h,t) P h P t

0 0

p h kp

进而求出费用最省时的h与t值，也就确定了此时费用最省的输油管的布置。针对城区管道的铺设需要增加额外费用，我们可以建立总费用（P）与费尔马点到铁路线的距离（h）之间的函数关系式

P（h）

=28.7 7.2 h 72 令P'(h) 0，可计算出相应的费用最省时的h的值（1.854），再将其代入

函数关系式，计算出最省的费用Pmin(282.6948 )。当管线铺设费用分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元时，利用同上的方法求出相应的总费用P与费尔马点到铁路线的距离（h）的函数关系式，进而求出相应的最省费用时的h与费用Pmin。

三、模型假设与约定

1. 假设公司一的加权平均数为0.5，公司二、三的加权平均数均为0.25； 2. 假设管道交接处不需额外费用； 3. 假设每一段管线都为直线；

4. 忽略管线铺设过程中造成的非预期费用。

四、符号说明及名词定义

费尔马点：到三角形的三个顶点的距离之和最短的点。对于一个顶角不超过120度的三角形，费尔马点是对各边的张角都是120度的点。对于一个顶角超过120度的三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。 L 表示炼油厂间距

Pn 表示总费用 A 表示炼油厂一 B 表示炼油厂二

M 表示火车站位置 a 表示炼油厂一到铁路线的距离 Sn 表示铺设管线长度 n=1,2,3……

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b 表示炼油厂二到铁路线的距离 p 表示每千米非共用管线的费用

kp 表示每千米共用管线和附加费用的总和（k>1）

P' 表示城区管线每千米所需费用

五、模型建立与求解