一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程

根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系ax2+bx+c=0 (a≠0).

b X1+X2=- a证明

c X1X2= a

说明：在使用根与系数的关系时，应注 意： ⑴不是一般式的要先化成一般式；b ⑵在使用X1+X2=- a

时，

注意“- ”不要漏写。

题1

1.下列方程的两根和与两根积各是多少？

⑴.X2-3X+1=0⑶.2X +3X=01.x1 x2 3 2 2.x1 x2 32

⑵.3X2-2X=2⑷.3X =12

x1 x 2 1

3 3.x1 x2 2

2 x1 x 2 3

x1 x 2 0

4.x1 x2 0

1 x1 x 2 3

题2 已知两圆的半径是一元二次方程

的两个根，两圆的圆心距等于7, 则这两圆的位置关系是( C ) A、外离 B、相交 C、外切 D、内切

2 x 14 x m 02

练习1 已知关于x的方程 x (m 1) x 2m 1 0 当m= -1 时,此方程的两根互为相反数.2

当m= 分析:1. 2.

1

时,此方程的两根互为倒数.

x1 x2 2m 1 1

x1 x2 m 1 0

应用：一求值题3 则：

x1 x2 2 1 2 22

4

x1 x 2 2

1

x x ( x1 x2 ) 2 x1 x 2 = 14( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 4 x1 x 2 = 122

另外几种常见的求值

x1 x 2 1 1 1. x1 x 2 x1 x 2

x1 x 2 x x 2. x1 x 2 x 2 x12 1

2 2

( x1 x 2 ) 2 2 x1 x 2 x1 x 2

3.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1

4. x1 x 2

( x1 x 2 )

2

( x1 x 2 ) 4 x1 x 22

说明：求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将 所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体 代入.

练习2 (1)设 为 A. 1

x x 1 0 的两个实数根 1 1 x1 , x 2 则: x x 的值为( A )21 2

B. -1

C.

5 D.

5 5

二

已知两根求作新的方程以 x 1 , x 2 为两根的一元二次方程

(二次项系数为1)为:

x ( x1 x2 ) x x1 x2 02

题4. 点p(m,n)既在反比例函数图象上, 又在一次函数

2 y ( x 0) 的 x

y x 2 的图象上,

则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1): 2 解:由已知得, n n=-2 即 m· m m+n=-2 n m 2

{

{

∴所求一元二次方程为:

x 2x 2 02

题5

以方程X +3X-5=0的两个根的相反数为根的方程 是( B ) A、y +3y-5=0 C、y2+3y+5=02

2

B、 D、

y -3y-5=0 y2-3y+5=0

2

分析:设原方程两根为

新方程的两根之和为 ( x1 ) ( x 2 )

3 新方程的两根之积为( x1 ) ( x2 ) 5

x1 , x 2 则: x1 x2 3, x1 x2 5

求作新的一元二次方程时: 1.先求原方程的两根和与两根积. 2.利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系,求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积) 3.利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程.

练习: 1.以2和 -3为根的一元二次方

程 (二次项系数为1)为：x2

x 6 0

三

已知两个数的和与积，求两数

题6 已知两个数的和是1,积是-2,则两 2和-1 。 个数是 解法(一):设两数分别为x,y则: 解得: { x=2 或 y=-1 x=-1 { y=2

{

x y 1

x y 2

解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 2 的两根则: a a 2 0 求得 a1 2, a 2 1 ∴两数为2,-1

四

求方程中的待定系数及待定系数 的取值范围2

题7 如果-1是方程 2 x

x m 0

-3 。 的一个根，则另一个根是___m=____