线性代数第四版同济大学课后习题答案04

第四章 向量组的线性相关性

1 设v1 (1 1 0)T v2 (0 1 1)T v3 (3 4 0)T 求v1 v2及3v1 2v2 v3 解 v1 v2 (1 1 0)T (0 1 1)T

(1 0 1 1 0 1)T

(1 0 1)T

3v1 2v2 v3 3(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (3 1 2 0 3 3 1 2 1 4 3 0 2 1 0)T (0 1 2)T

2 设3(a1 a) 2(a2 a) 5(a3 a) 求a 其中a1 (2 5 1 3)T a2 (10 1 5 10)T a3 (4 1 1 1)T 解 由3(a1 a) 2(a2 a) 5(a3 a)整理得 a

1

(3a1 2a2 5a3) 6

1

[3(2, 5, 1, 3)T 2(10, 1, 5, 10)T 5(4, 1, 1, 1)T]

6 (1 2 3 4)T 3 已知向量组

A a1 (0 1 2 3)T a2 (3 0 1 2)T a3 (2 3 0 1)T B b1 (2 1 1 2)T b2 (0 2 1 1)T b3 (4 4 1 3)T 证明B组能由A组线性表示 但A组不能由B组线性表示 证明 由

0 1

(A, B)

2 3 1r 0

~

0 0

30122301

204 1 24 111 213 1

r ~ 0

0 0 031 24 32204

1 6 15 7 2 8 17 9

031 24

1 6 15 7

041 35 00000

031 24

1 6 15 7 0205 1525 041 35

1

r ~ 0

0 0

知R(A) R(A B) 3 所以B组能由A组线性表示

由

204 102 1 1 24 r 0 22 r 0

B ~~111 01 1 0

213 01 1 0

4 已知向量组

A a1 (0 1 1)T a2 (1 1 0)T

02

1 1

00 00

知R(B) 2 因为R(B) R(B A) 所以A组不能由B组线性表示

B b1 ( 1 0 1)T b2 (1 2 1)T b3 (3 2 1)T 证明A组与B组等价 证明 由

11301 r 11301 r 11301

(B, A) 02211 ~ 02211 ~ 02211

11 110 02211 00000

知R(B) R(B A) 2 显然在A中有二阶非零子式 故R(A) 2 又R(A) R(B A) 2 所以R(A) 2 从而R(A) R(B) R(A B) 因此A组与B组等价

5 已知R(a1 a2 a3) 2 R(a2 a3 a4) 3 证明 (1) a1能由a2 a3线性表示 (2) a4不能由a1 a2 a3线性表示

证明 (1)由R(a2 a3 a4) 3知a2 a3 a4线性无关 故a2 a3也线性无关 又由R(a1 a2 a3) 2知a1 a2 a3线性相关 故a1能由a2 a3线性表示

(2)假如a4能由a1 a2 a3线性表示 则因为a1能由a2 a3线性表示 故a4能由a2 a3线性表示 从而a2 a3 a4线性相关 矛盾 因此a4不能由a1 a2 a3线性表示

6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) ( 1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T ( 1 4 0)T (0 0 2)T

解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为

121 r 121 r 121

A 314 ~ 077 ~ 011

101 022 000 所以R(A) 2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为

2 10

|B| 340 22 0

002

所以R(B) 3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关

7 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1 (a 1 1)T a2 (1 a 1)T a3 (1 1 a)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A 由

a11

|A| 1a 1 a(a 1)(a 1)

1 1a

知 当a 1、0、1时 R(A) 3 此时向量组线性相关

8 设a1 a2线性无关 a1 b a2 b线性相关 求向量b用a1 a2线性表示的表示式

解 因为a1 b a2 b线性相关 故存在不全为零的数 1 2使 1(a1 b) 2(a2 b) 0 由此得 b 设c

a1 a2 a1 (1 a2

1 2 1 2 1 2 1 2

则

1 2

b ca1 (1 c)a2 c R

9 设a1 a2线性相关 b1 b2也线性相关 问a1 b1 a2 b2是否一定线性相

关？试举例说明之 解 不一定

例如 当a1 (1 2)T, a2 (2 4)T, b1 ( 1 1)T, b2 (0 0)T时 有 a1 b1 (1 2)T b1 (0 1)T, a2 b2 (2 4)T (0 0)T (2 4)T 而a1 b1 a2 b2的对应分量不成比例 是线性无关的

10 举例说明下列各命题是错误的

(1)若向量组a1 a2 am是线性相关的 则a1可由a2 am线性表示 解 设a1 e1 (1 0 0 0) a2 a3 am 0 则a1 a2 am线性相关 但a1不能由a2 am线性表示 (2)若有不全为0的数 1 2 m使

1a1 mam 1b1 mbm 0

成立 则a1 a2 am线性相关, b1 b2 bm亦线性相关 解 有不全为零的数 1 2 m使

1a1 mam 1b1 mbm 0

原式可化为

1(a1 b1) m(am bm) 0

取a1 e1 b1 a2 e2 b2 am em bm 其中e1 e2 em为单位坐标向量 则上式成立 而a1 a2 am和b1 b2 bm均线性无关

(3)若只有当 1 2 m全为0时 等式

1a1 mam 1b1 mbm 0

才能成立 则a1 a2 am线性无关, b1 b2 bm亦线性无关 解 由于只有当 1 2 m全为0时 等式

由 1a1 mam 1b1 mbm 0

成立 所以只有当 1 2 m全为0时 等式

1(a1 b1) 2(a2 b2) m(am bm) 0

成立 因此a1 b1 a2 b2 am bm线性无关

取a1 a2 am 0 取b1 bm为线性无关组 则它们满足以上条件 但

a1 a2 am线性相关

(4)若a1 a2 am线性相关, b1 b2 bm亦线性相关 则有不全为0的数

1 2 m使

1a1 mam 0 1b1 mbm 0

同时成立

解 a1 (1 0)T a2 (2 0)T b1 (0 3)T b2 (0 4)T

1a1 2a2 0 1 2 2 1b1 2b2 0 1 (3/4) 2

1 2 0 与题设矛盾

11 设b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a3 a4 b4 a4 a1 证明向量组b1 b2 b3 b4线性相关

证明 由已知条件得

a1 b1 a2 a2 b2 a3 a3 b3 a4 a4 b4 a1 于是 a1 b1 b2 a3 b1 b2 b3 a4 b1 b2 b3 b4 a1 从而 b1 b2 b3 b4 0

这说明向量组b1 b2 b3 b4线性相关