同济大学线性代数课件__第四章

第四章 向量组的线性相关性

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§1 向量组及其线性组合定义1:n 个数 a1 , a2 , , an 所组成的有序数组 称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量 的 n 个分量，第 i 个数 a i 称为第 i 个分量。

这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。

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a1 a 2 (a1 , a2 an )T 称为列向量。 an

(a1 , a2 , , an )

称为行向量。

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例. 3 维向量的全体所组成的集合

R 3 { ( x , y , z )T | x , y , z R }通常称为 3 维Euclid几何空间。 集合

{ ( x, y, z )T | ax by cz d }称为 R3 中的一个平面。2014-1-18 4

例. n 维向量的全体所组成的集合

R { ( x1 , x2 , , xn ) | x1 , x2 , , xn R }n T

称为 n 维Euclid空间。 集合

{ ( x1 , x2 , , xn ) | a1 x1 a2 x2 an xn b }T

称为 n 维Euclid空间 Rn 中的 n-1维超平面。2014-1-18 5

例. 非齐次线性方程组 Ax b 的解集合

S { x | Ax b}齐次线性方程组 Ax 0 的解集合

S { x | Ax 0}

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同一维数的列向量 (或行向量) 所组成的集合 称为向量组。m× n 阵 A 的 列向量组: A (a1 , a2 , , an ) 1T T 2 A T m 7

行向量组:

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§2 向量组的线性相关性定义1:设向量组 A : 1 , 2 , , m , 及一组实数

k1 , k2 , , km , 表达式k1 1 k2 2 km m

称为向量组 A的一个线性组合，k1 , k2 , , km 称为线性组合的系数。

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定义2:设向量组 A : 1 , 2 , , m , 和向量 b 若存在一组实数 1 , 2 , m ,

使得 b 1 1 2 2 m m则称向量 b 是向量组 A的一个线性组合， 或称向量 b 能由向量组 A 线性表示。

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例如：

2 1 1 0 a1 1 , a2 2 , a3 1 , b 3 1 1 2 3 则 b 能由 a1 , a2 , a3 线性表示.解方程组 x1a1 x2a2 x3a3 b 既解方程组

2 x1 x2 x3 0 x1 2 x2 x3 3 x x 2 x 3 2 3 110

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得

x1 1 1 1 2 x c 2 1 0 x 3

所以，b a1 2a2

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a11 x1 a12 x 2 a x 21 1 a 22 x 2 a m 1 x 1 a m 2 x 2

a1n x n a 2n x n a mn x n

b1 b2 bm

a11 a12 a21 a22 记 A a m1 a m 2

a1n a2 n a mn

x1 x2 x x n

b1 b2 b b m

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a1 j a2 j 若 A 1 , 2 , , n , 其中 j a mj

则方程组的向量表示为

x1 1 x2 2 xn n b

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定理1: 向量 b可由向量组 1 , 2 , , m 线性表示

Ax b 有解，其中 A ( , , , ) 1 2 m R( A) R( A, b)

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定义3: 设向量组 A : 1 , 2 , , m 及 B : 1 , 2 , , l 若 B 组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。 若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示， 则称向量组 A 与向量组 B 等价。

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A : 1 , 2 , , m B : 1 , 2 , , l B 能由 A 线性表示

j k1 j 1 k2 j 2 kl j l j 1, 2, , l( 1 , , l ) (k11 1 km1 m , , k1l 1 kml m )

k11 k1l ( 1 , , m ) k k ml m12014-1-18 16