大学线性代数课件第四节 欧氏空间

第四节 欧氏空间一 欧氏空间的基本概念

在解析几何中, 向量的长度与两个向量的夹 角用内积可以这样表示 ( , ) ( , ) cos , 其中| |表示向量的长度, , 表示两个向 量的夹角. 在通常的二维与三维向量空间中, 向量的内 积满足以下性质:

向量内积的性质1. ( , ) ( , ) 2. ( k , ) k ( , ) 3. ( , ) ( , ) ( , ) 4. ( , ) 0, 当且仅当 =0时, ( , )=0. 在一般的线性空间中 , 我们作如下推广:

定义 设V是实数域上的一个线性空间, 对V中任 意两个元素 , , 都确定一个实数( , ), 满 足上述性质, 称( , )为 与 的内积. 定义 定义了内积的实数域上的线性空间称为欧 氏空间.

例1 在通常的三维向量空间R3中, 定义内积 ( , ) cos , 使R3成为一个欧氏空间. 例2 在n维向量空间Rn中, 对向量 =(a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn), 定义内积 ( , ) a1b1 a2b2 an bn 当 , 给定后, 数( , )按以上定义唯一确 定. 有

1. ( , ) ai bi bi ai ( , )i 1

n

n

2. ( k , ) ( kai )bi k (ai bi ) k ( , )i 1 i 1

n

i 1

n

3. 如果 =(c1, c2, …, cn), + =(a1+b1, a2+b2, …, an+bn), 则

( , ) (ai bi )ci ai ci bi cii 1 i 1 i 1

n

n

n

( , ) ( , )4. ( , ) ai ai ai2 0,i 1 i 1 n n

当且仅当ai=0(i=1, 2, …, n)时, ( , )=0. 因此, 由 ( , ) a1b1 a2b2 an bn 定义的内积构成一个欧氏空间Rn.

例3 在线性空间C[a, b]中, 对任意两个函数f(x), g(x), 定义内积 b ( f , g ) a f ( x ) g( x )dx也构成一个欧氏空间.

二

度量矩阵与标准正交基

对n维线性空间V, 我们知道任何一个元素都 可由其基底线性表出, 要定义内积使其成为欧氏 空间, 只用定义基底间的内积即可. 设 1, 2, …, n是V的一组基底, 且 ( , ) a i , j 1,2, , ni j ij

对V中任意两个元素 x1 1 x2 2 xn n y1 1 y2 2 yn n利用内积的性质, 有 ( , ) ( x1 1 x2 2 x n n , y1 1 y2 2 yn n ) ( i , j ) xi y jn n i 1 j 1 n n

aij xi y ji 1 j 1

类似于二次型的表达式

令 a11 a 21 A a n1 a12 a 22 an 2 a1n a2 n a nn

( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( , ) ( , ) n 1 n 2

( 1 , n ) ( 2 , n )

( n , n )

并设 , 在基底 1, 2, …, n下的坐标列向 量为 x1 y1 x2 y2 x , y x y n n

( , ) x' Ay (*) 则 矩阵A称为欧氏空间在基底 1, 2, …, n下 的度量矩阵 . 显然度量矩阵是对称矩阵 , 并且对任 意非零向量 , 有 ( , ) x' Ax 0说明度量矩阵A是正定矩阵.

利用以上讨论, 对线性空间V的任何一组基底, 确定度量矩阵A之后, 任何两个元素的内积就可 通过其坐标按(*)来计算. 这样内积完全由度量 矩阵确定.问题: 向量空间中基底不是唯一的, 每一基底有 一个度量矩阵, 若基底改变, 度量矩阵又有什么 改变? 定理4.1 欧氏空间中两组不同基底下的度量矩阵 是合同的. 证明 设欧氏空间V对于基底 1, 2, …, n的 度量矩阵为A, 对于基底 1, 2, …, n的度量矩 阵为B,

并设由基底 1, 2, …, n到基底 1, 2, …, n的过渡矩阵为P, 即 ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) P 得坐标变换公式 x Px1 , y Py1 其中x, y为V中任意元素 , 在基底 1, 2, …, n下的坐标列向量; x1, y1为 , 在基底 1, 2, …, n下的坐标列向量. 则有 ( , ) x' Ay x1 ' P ' APy1

而 因此

( , ) x1 ' By1B=P AP.

即不同基底下的度量矩阵是合同的.

新问题: 什么样的基底所对应的度量矩阵最简单. 度量矩阵是正定矩阵, 而正定矩阵合同于单位矩 阵, 因此在欧氏空间中一定存在满足关系式 ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n )C 的一组基底 1, 2, …, n, 其度量矩阵是单位 矩阵, 即 ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , n ) 1 0 0 ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , n ) 0 1 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 1 n 1 n 2 n n

1, j i ( i , j ) i , j 1,2, , n 0, j i 满足上式的基底 1, 2, …, n称为标准正交 基 . 这样当元素 , 在标准正交基下的坐标列向量为x和y时, 有 ( , ) x' Ey x1 y1 x2 y2 xn yn 例2中Rn中的内积即如此定义, 也称标准内积. 在欧氏空间中一定存在标准正交基, 这样可以 利用施密特正交化方法将一组基标准正交化.

于是

对欧氏空间中的基 1, 2, …, n, 按以下 做法可得一组标准正交基: ( 1 , 2 ) 1 1 2 2 1 ( 1 , 1 )( 1 , 3 ) ( 2 , 3 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 1 , n ) ( 2 , n ) ( n 1 , n ) n n

1 2 n 1 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( n 1 , n 1 )

1, 2, …, n便是正交基, 单位化得

n 1 2 1 , 2 , , n 1 2 n 1, 2, …, n是标准正交基. 例4 在四维欧氏空间R4中定义内积 ( , ) a1b1 a2b2 a3b3 a4b4

在R4中给定一组基底: 1=(1, 1, 0, 0), 2=(1, 0, 1, 0), 3=( 1, 0, 1, 0), 4=(1, 1, 1, 1). 求 R4中一组标准正交基. 解 1 1 (1,1,0,0)

( 1 , 2 ) 1 1 1 2 2 1 2 1 ( , ,1,0) ( 1 , 1 ) 2 2 2

( 1 , 3 ) ( 2 , 3 ) 1 1 3 3 1 2 3 1 2 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) 2 3 1 1 1 , , ,1 3 3 3 ( 3 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 2 , 4 ) 4 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 3 , 3 )

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